Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно — \(\frac{14}{3}\).
Ответ
2;4;8
Решение № 17438:
Для решения задачи найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно \(\frac{14}{3}\), выполним следующие шаги:
- Обозначим три числа геометрической прогрессии как \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). Пусть \(a_2 = b\) — средний член прогрессии, а \(q\) — знаменатель прогрессии. Тогда \(a_1 = \frac{b}{q}\) и \(a_3 = bq\).
- Запишем условие на произведение чисел:
\[
a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 64
\]
Подставим выражения для \(a_1\) и \(a_3\):
\[
\frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = 64
\]
Упростим выражение:
\[
b^3 = 64
\]
Найдем \(b\):
\[
b = \sqrt[3]{64} = 4
\]
- Запишем условие на среднее арифметическое:
\[
\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} = \frac{14}{3}
\]
Умножим обе части на 3:
\[
a_1 + a_2 + a_3 = 14
\]
Подставим выражения для \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\):
\[
\frac{b}{q} + b + bq = 14
\]
Подставим \(b = 4\):
\[
\frac{4}{q} + 4 + 4q = 14
\]
Упростим уравнение:
\[
\frac{4}{q} + 4q = 10
\]
Умножим обе части на \(q\):
\[
4 + 4q^2 = 10q
\]
Перенесем все члены в одну сторону:
\[
4q^2 - 10q + 4 = 0
\]
Решим квадратное уравнение:
\[
q = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{8} = \frac{10 \pm 6}{8}
\]
Найдем корни:
\[
q = \frac{16}{8} = 2 \quad \text{или} \quad q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
- Подставим найденные значения \(q\) и \(b\) в выражения для \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\):
- Для \(q = 2\):
\[
a_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad a_2 = 4, \quad a_3 = 4 \cdot 2 = 8
\]
- Для \(q = \frac{1}{2}\):
\[
a_1 = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8, \quad a_2 = 4, \quad a_3 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2
\]
Таким образом, три числа, образующих геометрическую прогрессию, есть \(2, 4, 8\) или \(8, 4, 2\).
Ответ: \(2, 4, 8\) или \(8, 4, 2\)