Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найти целое положительное число n из уравнения \((3+6+9+...+3(n-1))+\left ( 4+5,5+7+...+\frac{8+3n}{2} \right)=137\).

Ответ

7

Решение № 17425:

Для решения уравнения \((3+6+9+...+3(n-1))+\left ( 4+5,5+7+...+\frac{8+3n}{2} \right)=137\) выполним следующие шаги:

1. Разделим уравнение на две части и найдем сумму каждой из них.
2. Первая часть уравнения: \(3 + 6 + 9 + ... + 3(n-1)\).
3. Это арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 3\), разность \(d = 3\) и количество членов \(n-1\).
4. Сумма первых \(n-1\) членов арифметической прогрессии: \[ S_{n-1} = \frac{(n-1)}{2} \left(2a_1 + (n-2)d\right) \] Подставим значения \(a_1 = 3\) и \(d = 3\): \[ S_{n-1} = \frac{(n-1)}{2} \left(2 \cdot 3 + (n-2) \cdot 3\right) = \frac{(n-1)}{2} \left(6 + 3n - 6\right) = \frac{(n-1)}{2} \cdot 3n = \frac{3n(n-1)}{2} \]
5. Вторая часть уравнения: \(4 + 5.5 + 7 + ... + \frac{8 + 3n}{2}\).
6. Это также арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 4\), разность \(d = 1.5\) и количество членов \(n\).
7. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Подставим значения \(a_1 = 4\) и \(d = 1.5\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 1.5\right) = \frac{n}{2} \left(8 + 1.5n - 1.5\right) = \frac{n}{2} \left(6.5 + 1.5n\right) = \frac{n}{2} \left(13 + 3n\right) = \frac{n(13 + 3n)}{2} \]
8. Теперь сложим суммы обеих частей: \[ \frac{3n(n-1)}{2} + \frac{n(13 + 3n)}{2} = 137 \]
9. Объединим дроби и упростим выражение: \[ \frac{3n^2 - 3n + 13n + 3n^2}{2} = 137 \] \[ \frac{6n^2 + 10n}{2} = 137 \] Умножим обе части уравнения на 2: \[ 6n^2 + 10n = 274 \]
10. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 6n^2 + 10n - 274 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта или факторизации: \[ 3n^2 + 5n - 137 = 0 \] Найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-137) = 25 + 1644 = 1669 \] Найдем корни уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1669}}{6} \] \[ n = \frac{-5 \pm 41}{6} \] Получим два корня: \[ n_1 = \frac{36}{6} = 6 \] \[ n_2 = \frac{-46}{6} \approx -7.67 \quad \text{(не подходит, так как \(n\) должно быть целым положительным числом)} \]
12. Таким образом, единственное целое положительное решение: \[ n = 6 \]

Ответ: \(n = 6\)