Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.

Ответ

{7;-28;112;-448, -11\frac{2}{3};-46\frac{2}{3};-186\frac{2}{3};-746\frac{2}{3}}

Решение № 17447:

Для решения задачи нахождения четырех чисел, образующих геометрическую прогрессию, где второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560, выполним следующие шаги:

1. Обозначим члены геометрической прогрессии как \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\), где \(a_1\) - первый член, а \(q\) - знаменатель прогрессии. Тогда:
\[ a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2, \quad a_4 = a_1 q^3 \]
2. Составим систему уравнений на основе условий задачи:
\[ \begin{cases} a_2 = a_1 - 35 \\ a_3 = a_4 + 560 \end{cases} \]
3. Подставим выражения для \(a_2\) и \(a_3\) через \(a_1\) и \(q\):
\[ \begin{cases} a_1 q = a_1 - 35 \\ a_1 q^2 = a_1 q^3 + 560 \end{cases} \]
4. Решим первое уравнение относительно \(a_1\):
\[ a_1 q = a_1 - 35 \implies a_1 (q - 1) = -35 \implies a_1 = \frac{-35}{q - 1} \]
5. Подставим \(a_1\) во второе уравнение:
\[ a_1 q^2 = a_1 q^3 + 560 \implies \frac{-35 q^2}{q - 1} = \frac{-35 q^3}{q - 1} + 560 \]
6. Умножим обе части уравнения на \(q - 1\):
\[ -35 q^2 = -35 q^3 + 560 (q - 1) \]
7. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\[ -35 q^2 = -35 q^3 + 560 q - 560 \] \[ 35 q^3 - 35 q^2 - 560 q + 560 = 0 \]
8. Разделим все члены уравнения на 35:
\[ q^3 - q^2 - 16 q + 16 = 0 \]
9. Решим кубическое уравнение \(q^3 - q^2 - 16 q + 16 = 0\). Для этого можно использовать метод подбора или численные методы. Один из корней этого уравнения \(q = 4\).
10. Подставим \(q = 4\) обратно в выражение для \(a_1\):
\[ a_1 = \frac{-35}{4 - 1} = \frac{-35}{3} = -\frac{35}{3} \]
11. Найдем остальные члены прогрессии:
\[ a_2 = a_1 q = -\frac{35}{3} \cdot 4 = -\frac{140}{3} \] \[ a_3 = a_1 q^2 = -\frac{35}{3} \cdot 4^2 = -\frac{35}{3} \cdot 16 = -\frac{560}{3} \] \[ a_4 = a_1 q^3 = -\frac{35}{3} \cdot 4^3 = -\frac{35}{3} \cdot 64 = -\frac{2240}{3} \]
12. Таким образом, четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, равны:
\[ a_1 = -\frac{35}{3}, \quad a_2 = -\frac{140}{3}, \quad a_3 = -\frac{560}{3}, \quad a_4 = -\frac{2240}{3} \]

Ответ: \(-\frac{35}{3}, -\frac{140}{3}, -\frac{560}{3}, -\frac{2240}{3}\).