Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна 49, а сумма средних членов равна 14.

Ответ

7;-14;28;-56

Решение № 17444:

Для решения задачи о нахождении четырех чисел, образующих геометрическую прогрессию, где сумма крайних членов равна 49, а сумма средних членов равна 14, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ \begin{cases} b_1 + b_4 = 49 \\ b_2 + b_3 = 14 \end{cases} \]
2. Выразим члены геометрической прогрессии через первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\): \[ \begin{cases} b_1 + b_1 q^3 = 49 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 14 \end{cases} \]
3. Упростим систему уравнений: \[ \begin{cases} b_1 (1 + q^3) = 49 \\ b_1 q (1 + q) = 14 \end{cases} \]
4. Разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 (1 + q^3)} = \frac{14}{49} \]
5. Упростим выражение: \[ \frac{q (1 + q)}{1 + q^3} = \frac{14}{49} \]
6. Умножим обе части уравнения на \(1 + q^3\): \[ q (1 + q) = \frac{14}{49} (1 + q^3) \]
7. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону: \[ 49q (1 + q) = 14 (1 + q^3) \] \[ 49q + 49q^2 = 14 + 14q^3 \] \[ 49q + 49q^2 - 14q^3 = 14 \]
8. Решим полученное кубическое уравнение: \[ 14q^3 - 49q^2 - 49q + 14 = 0 \]
9. Подставим возможные значения \(q\) и проверим: \[ q = \frac{1}{2} \]
10. Подставим \(q = \frac{1}{2}\) в первое уравнение: \[ b_1 (1 + (\frac{1}{2})^3) = 49 \] \[ b_1 (1 + \frac{1}{8}) = 49 \] \[ b_1 \cdot \frac{9}{8} = 49 \] \[ b_1 = 49 \cdot \frac{8}{9} \] \[ b_1 = 44 \]
11. Найдем остальные члены прогрессии: \[ b_2 = b_1 q = 44 \cdot \frac{1}{2} = 22 \] \[ b_3 = b_1 q^2 = 44 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 11 \] \[ b_4 = b_1 q^3 = 44 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 5.5 \]

Таким образом, четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, равны \(44, 22, 11, 5.5\). Ответ: \(44, 22, 11, 5.5\)