Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна \(\frac{93}{16}\).

Ответ

3;\frac{3}{2};\frac{3}{4}

Решение № 17446:

Для решения задачи найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(|q| < 1\), сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна \(\frac{93}{16}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ S_{\infty} = 6, \quad S_5 = \frac{93}{16} \] где \(S_{\infty}\) — сумма бесконечной геометрической прогрессии, \(S_5\) — сумма первых пяти членов прогрессии.
2. Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии: \[ S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q} \] Подставим значение \(S_{\infty}\): \[ 6 = \frac{b_1}{1 - q} \]
3. Используем формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии для \(n = 5\): \[ S_5 = b_1 \frac{1 - q^5}{1 - q} \] Подставим значение \(S_5\): \[ \frac{93}{16} = b_1 \frac{1 - q^5}{1 - q} \]
4. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 6 = \frac{b_1}{1 - q} \\ \frac{93}{16} = b_1 \frac{1 - q^5}{1 - q} \end{cases} \]
5. Из первого уравнения найдем \(b_1\): \[ b_1 = 6(1 - q) \]
6. Подставим \(b_1\) во второе уравнение: \[ \frac{93}{16} = 6(1 - q) \frac{1 - q^5}{1 - q} \] Упростим уравнение: \[ \frac{93}{16} = 6(1 - q^5) \] \[ \frac{93}{16} = 6 - 6q^5 \] \[ 6q^5 = 6 - \frac{93}{16} \] \[ 6q^5 = \frac{96}{16} - \frac{93}{16} \] \[ 6q^5 = \frac{3}{16} \] \[ q^5 = \frac{3}{96} \] \[ q^5 = \frac{1}{32} \] \[ q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} \] \[ q = \frac{1}{2} \]
7. Подставим \(q = \frac{1}{2}\) в уравнение для \(b_1\): \[ b_1 = 6 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \] \[ b_1 = 6 \cdot \frac{1}{2} \] \[ b_1 = 3 \]
8. Найдем первые три члена прогрессии: \[ b_1 = 3 \] \[ b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ b_3 = b_2 \cdot q = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, первые три члена бесконечной геометрической прогрессии: \[ b_1 = 3, \quad b_2 = \frac{3}{2}, \quad b_3 = \frac{3}{4} \] Ответ: \(3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}\)