Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найти сумму \(1+2\cdot3+3\cdot7+...+n(2^{n}-1)\)

Ответ

2^{n+1}(n-1)+2-0,5n(n+1)

Решение № 17431:

Для нахождения суммы \( S = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + \ldots + n(2^n - 1) \), выполним следующие шаги:

1. Запишем общий член суммы: \[ a_n = n(2^n - 1) \]
2. Разложим общий член на два слагаемых: \[ a_n = n \cdot 2^n - n \]
3. Запишем сумму в виде двух отдельных сумм: \[ S = \sum_{k=1}^{n} (k \cdot 2^k - k) \]
4. Разделим сумму на две части: \[ S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k - \sum_{k=1}^{n} k \]
5. Вычислим первую сумму \(\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\):
   1. Рассмотрим сумму \(T = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\).
   2. Запишем сумму \(T\) в виде: \[ T = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + n \cdot 2^n \]
   3. Умножим \(T\) на 2: \[ 2T = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \ldots + n \cdot 2^{n+1} \]
   4. Вычтем из \(2T\) сумму \(T\): \[ 2T - T = (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \ldots + n \cdot 2^{n+1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + n \cdot 2^n) \]
   5. Упростим выражение: \[ T = -1 \cdot 2 - 2^2 - 2^3 - \ldots - 2^n + n \cdot 2^{n+1} \]
   6. Сумма геометрической прогрессии: \[ -(2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = -\frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = -2(2^n - 1) \]
   7. Подставим результат: \[ T = -2(2^n - 1) + n \cdot 2^{n+1} \]
   8. Упростим: \[ T = -2^{n+1} + 2 + n \cdot 2^{n+1} = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 \]
6. Вычислим вторую сумму \(\sum_{k=1}^{n} k\): \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
7. Подставим результаты в исходное выражение для \(S\): \[ S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 - \frac{n(n+1)}{2} \]
8. Упростим окончательное выражение: \[ S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 - \frac{n^2 + n}{2} \]

Таким образом, сумма \(1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + \ldots + n(2^n - 1)\) равна: \[ S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 - \frac{n^2 + n}{2} \]