Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Турист. поднимаясь в гору. в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?

Ответ

8

Решение № 17420:

Для решения задачи о том, за сколько часов турист достигнет высоты в 5700 м, выполним следующие шаги:

1. Определим высоту, на которую турист поднимается каждый час. В первый час он поднимается на 800 м. Каждый следующий час высота уменьшается на 25 м.
2. Запишем последовательность высот, на которые турист поднимается каждый час: \[ a_1 = 800, \quad a_2 = 800 - 25 = 775, \quad a_3 = 775 - 25 = 750, \quad \ldots \]
3. Общая формула для высоты, на которую турист поднимается в \(n\)-й час: \[ a_n = 800 - 25(n-1) \]
4. Найдем сумму первых \(n\) членов этой последовательности. Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 800\) и общей разностью \(d = -25\).
5. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Подставим \(a_1 = 800\) и \(d = -25\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 800 + (n-1)(-25)\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(1600 - 25n + 25\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(1625 - 25n\right) \]
6. Установим уравнение для нахождения \(n\), когда сумма \(S_n\) равна 5700 м: \[ \frac{n}{2} \left(1625 - 25n\right) = 5700 \]
7. Умножим обе части уравнения на 2: \[ n(1625 - 25n) = 11400 \]
8. Раскроем скобки: \[ 1625n - 25n^2 = 11400 \]
9. Перенесем все члены на одну сторону: \[ -25n^2 + 1625n - 11400 = 0 \]
10. Разделим все члены уравнения на -25: \[ n^2 - 65n + 456 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -65\), \(c = 456\): \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 456}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{4225 - 1824}}{2} \] \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{2401}}{2} \] \[ n = \frac{65 \pm 49}{2} \]
12. Найдем два возможных решения: \[ n_1 = \frac{65 + 49}{2} = \frac{114}{2} = 57 \] \[ n_2 = \frac{65 - 49}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
13. Поскольку \(n\) должно быть положительным целым числом, выберем \(n = 8\).

Таким образом, турист достигнет высоты в 5700 м за 8 часов. Ответ: 8