Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Найти се знаменатель.

Ответ

-2

Решение № 17440:

Для решения задачи о нахождении знаменателя геометрической прогрессии, образованной произведениями первого члена на второй, второго на третий и третьего на первый, выполним следующие шаги:

1. Пусть \(a_1, a_2, a_3\) — первые три члена арифметической прогрессии с разностью \(d \neq 0\). Тогда: \[ a_2 = a_1 + d, \quad a_3 = a_1 + 2d \]
2. Числа, равные произведениям первого члена на второй, второго на третий и третьего на первый, будут: \[ a_1 \cdot a_2, \quad a_2 \cdot a_3, \quad a_3 \cdot a_1 \]
3. Эти числа образуют геометрическую прогрессию. Для геометрической прогрессии справедливо равенство: \[ \frac{a_2 \cdot a_3}{a_1 \cdot a_2} = \frac{a_3 \cdot a_1}{a_2 \cdot a_3} \]
4. Упростим выражения: \[ \frac{a_3}{a_1} = \frac{a_1}{a_2} \]
5. Подставим значения \(a_2\) и \(a_3\): \[ \frac{a_1 + 2d}{a_1} = \frac{a_1}{a_1 + d} \]
6. Перемножим числители и знаменатели: \[ (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + d) = a_1^2 \]
7. Раскроем скобки: \[ a_1^2 + 3a_1d + 2d^2 = a_1^2 \]
8. Отнимем \(a_1^2\) от обеих частей уравнения: \[ 3a_1d + 2d^2 = 0 \]
9. Вынесем \(d\) за скобку: \[ d(3a_1 + 2d) = 0 \]
10. Поскольку \(d \neq 0\), то: \[ 3a_1 + 2d = 0 \]
11. Решим уравнение относительно \(d\): \[ 2d = -3a_1 \implies d = -\frac{3a_1}{2} \]
12. Таким образом, разность арифметической прогрессии \(d\) равна: \[ d = -\frac{3a_1}{2} \]

Ответ: \(d = -\frac{3a_1}{2}\)