Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

Ответ

3;-6;12;-24

Решение № 17448:

Для решения задачи найдем четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18. Обозначим члены геометрической прогрессии через \(a_1, a_2, a_3, a_4\) и деноминацию через \(q\).

1. Запишем члены геометрической прогрессии: \[ a_1, a_2 = a_1 q, a_3 = a_1 q^2, a_4 = a_1 q^3 \]
2. Составим уравнения на основе условий задачи: \[ a_3 = a_1 + 9 \quad \text{и} \quad a_2 = a_4 + 18 \]
3. Подставим выражения для \(a_3\) и \(a_4\) из геометрической прогрессии: \[ a_1 q^2 = a_1 + 9 \] \[ a_1 q = a_1 q^3 + 18 \]
4. Разделим первое уравнение на \(a_1\) (предполагая \(a_1 \neq 0\)): \[ q^2 = 1 + \frac{9}{a_1} \]
5. Разделим второе уравнение на \(a_1\) (предполагая \(a_1 \neq 0\)): \[ q = q^3 + \frac{18}{a_1} \]
6. Упростим второе уравнение: \[ q - q^3 = \frac{18}{a_1} \]
7. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} q^2 = 1 + \frac{9}{a_1} \\ q - q^3 = \frac{18}{a_1} \end{cases} \]
8. Решим первое уравнение относительно \(a_1\): \[ a_1 = \frac{9}{q^2 - 1} \]
9. Подставим выражение для \(a_1\) во второе уравнение: \[ q - q^3 = \frac{18}{\frac{9}{q^2 - 1}} \] \[ q - q^3 = 2 \cdot \frac{q^2 - 1}{1} \] \[ q - q^3 = 2(q^2 - 1) \] \[ q - q^3 = 2q^2 - 2 \] \[ q^3 - 2q^2 + q + 2 = 0 \]
10. Решим кубическое уравнение \(q^3 - 2q^2 + q + 2 = 0\): \[ (q - 2)(q^2 + 1) = 0 \]
11. Найдем корни уравнения: \[ q = 2 \quad \text{или} \quad q^2 + 1 = 0 \quad (\text{не имеет реальных решений}) \]
12. Подставим \(q = 2\) в выражение для \(a_1\): \[ a_1 = \frac{9}{2^2 - 1} = \frac{9}{3} = 3 \]
13. Найдем остальные члены прогрессии: \[ a_2 = a_1 q = 3 \cdot 2 = 6 \] \[ a_3 = a_1 q^2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 \] \[ a_4 = a_1 q^3 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 \]
14. Таким образом, четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, равны: \[ 3, 6, 12, 24 \]

Ответ: \(3, 6, 12, 24\)