Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Найти сумму \( 1\cdot3+3\cdot9+5\cdot27+...+(2n-1)\cdot3^{n}\)
Ответ
3^{n+1}(n-1)+3
Решение № 17432:
Для нахождения суммы \( S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n \), выполним следующие шаги:
- Запишем сумму:
\[
S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n
\]
- Умножим сумму на 3:
\[
3S = 1 \cdot 9 + 3 \cdot 27 + 5 \cdot 81 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}
\]
- Вычтем из этого уравнения исходное уравнение:
\[
3S - S = (1 \cdot 9 + 3 \cdot 27 + 5 \cdot 81 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}) - (1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n)
\]
- Упростим левую часть уравнения:
\[
2S = (1 \cdot 9 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 27 - 3 \cdot 9) + (5 \cdot 81 - 5 \cdot 27) + \ldots + ((2n-1) \cdot 3^{n+1} - (2n-1) \cdot 3^n)
\]
- Упростим правую часть уравнения:
\[
2S = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 27 + \ldots + 2 \cdot 3^n - (2n-1) \cdot 3^{n+1}
\]
- Заметим, что правая часть уравнения представляет собой сумму геометрической прогрессии:
\[
2S = 2 \cdot (3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n) - (2n-1) \cdot 3^{n+1}
\]
- Сумма геометрической прогрессии \(3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n\) равна:
\[
3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}
\]
- Подставим эту сумму в уравнение:
\[
2S = 2 \cdot \frac{3(3^n - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^{n+1}
\]
- Упростим уравнение:
\[
2S = 3(3^n - 1) - (2n-1) \cdot 3^{n+1}
\]
- Раскроем скобки:
\[
2S = 3 \cdot 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n+1}
\]
- Упростим:
\[
2S = 3^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n+1}
\]
- Сгруппируем подобные члены:
\[
2S = 3^{n+1} - (2n-1) \cdot 3^{n+1} - 3
\]
- Упростим:
\[
2S = (1 - (2n-1)) \cdot 3^{n+1} - 3
\]
- Упростим:
\[
2S = (2 - 2n) \cdot 3^{n+1} - 3
\]
- Разделим обе части уравнения на 2:
\[
S = \frac{(2 - 2n) \cdot 3^{n+1} - 3}{2}
\]
- Упростим:
\[
S = (n-1) \cdot 3^{n+1} + \frac{3}{2}
\]
- Таким образом, сумма равна:
\[
S = (n-1) \cdot 3^{n+1} + \frac{3}{2}
\]
Ответ: \( S = (n-1) \cdot 3^{n+1} + \frac{3}{2} \)