Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найти трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792. то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры, выражающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

Ответ

931

Решение № 17441:

Для решения задачи о трехзначном числе, цифры которого образуют геометрическую прогрессию, и удовлетворяющего указанным условиям, выполним следующие шаги:

1. Пусть трехзначное число \( \overline{abc} \), где \( a, b, c \) — цифры, образующие геометрическую прогрессию. Тогда \( b = aq \) и \( c = aq^2 \), где \( q \) — знаменатель прогрессии.
2. Условие задачи: \( \overline{abc} - 792 = \overline{cba} \).
3. Запишем числа \( \overline{abc} \) и \( \overline{cba} \) в десятичной системе: \[ \overline{abc} = 100a + 10b + c \] \[ \overline{cba} = 100c + 10b + a \]
4. Подставим эти выражения в условие задачи: \[ 100a + 10b + c - 792 = 100c + 10b + a \]
5. Упростим уравнение: \[ 100a + c - 792 = 100c + a \] \[ 99a - 99c = 792 \] \[ a - c = 8 \]
6. Теперь рассмотрим условие, что если из цифры \( a \) вычесть 4, то цифры образуют арифметическую прогрессию. Пусть \( a - 4 \), \( b \), \( c \) образуют арифметическую прогрессию с разностью \( d \): \[ b - (a - 4) = c - b \] \[ b - a + 4 = c - b \] \[ 2b = a + c - 4 \]
7. Подставим \( b = aq \) и \( c = aq^2 \) в выражение: \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \] \[ 2aq = a(1 + q^2) - 4 \] \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \]
8. Решим систему уравнений: \[ a - c = 8 \] \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \]
9. Подставим \( c = aq^2 \) в первое уравнение: \[ a - aq^2 = 8 \] \[ a(1 - q^2) = 8 \]
10. Решим второе уравнение: \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \] \[ 2aq = a(1 + q^2) - 4 \] \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \]
11. Подставим \( a = 8/(1 - q^2) \) в последнее уравнение и решим его относительно \( q \): \[ 2 \left(\frac{8}{1 - q^2}\right) q = \frac{8}{1 - q^2} + \frac{8}{1 - q^2} q^2 - 4 \] \[ \frac{16q}{1 - q^2} = \frac{8(1 + q^2)}{1 - q^2} - 4 \] \[ 16q = 8(1 + q^2) - 4(1 - q^2) \] \[ 16q = 8 + 8q^2 - 4 + 4q^2 \] \[ 16q = 4 + 12q^2 \] \[ 12q^2 - 16q + 4 = 0 \] \[ 3q^2 - 4q + 1 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение: \[ q = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} \] \[ q = \frac{4 \pm 2}{6} \] \[ q = 1 \quad \text{или} \quad q = \frac{1}{3} \]
13. Подставим \( q = \frac{1}{3} \) в \( a = 8/(1 - q^2) \): \[ a = \frac{8}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{8}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{8}{\frac{8}{9}} = 9 \]
14. Найдем \( b \) и \( c \): \[ b = aq = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 \] \[ c = aq^2 = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \]
15. Таким образом, трехзначное число \( \overline{abc} = 931 \).

Ответ: 931