Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9. то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Ответ

{3;6;12, 27;18;12}

Решение № 17439:

Для решения задачи о трех числах, образующих геометрическую и арифметическую прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Обозначим три числа как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c = 12\) для геометрической прогрессии и \(c = 9\) для арифметической прогрессии.
2. Для геометрической прогрессии запишем условие: \[ b^2 = a \cdot c \] Подставим \(c = 12\): \[ b^2 = a \cdot 12 \]
3. Для арифметической прогрессии запишем условие: \[ 2b = a + c \] Подставим \(c = 9\): \[ 2b = a + 9 \]
4. Теперь имеем систему уравнений: \[ \begin{cases} b^2 = 12a \\ 2b = a + 9 \end{cases} \]
5. Выразим \(a\) из второго уравнения: \[ a = 2b - 9 \]
6. Подставим \(a = 2b - 9\) в первое уравнение: \[ b^2 = 12(2b - 9) \]
7. Упростим уравнение: \[ b^2 = 24b - 108 \]
8. Перенесем все члены в одну сторону: \[ b^2 - 24b + 108 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ b = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 108}}{2} \] \[ b = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} \] \[ b = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ b = \frac{24 \pm 12}{2} \] \[ b = 18 \quad \text{или} \quad b = 6 \]
10. Подставим найденные значения \(b\) в \(a = 2b - 9\): - Для \(b = 18\): \[ a = 2 \cdot 18 - 9 = 27 \] - Для \(b = 6\): \[ a = 2 \cdot 6 - 9 = 3 \]
11. Таким образом, имеем два набора чисел: - Для \(b = 18\): \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 12\) - Для \(b = 6\): \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 12\)
12. Проверим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию: - Для \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 12\): \[ b^2 = 18^2 = 324 \quad \text{и} \quad a \cdot c = 27 \cdot 12 = 324 \] - Для \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 12\): \[ b^2 = 6^2 = 36 \quad \text{и} \quad a \cdot c = 3 \cdot 12 = 36 \]
13. Проверим, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, если \(c = 9\): - Для \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 9\): \[ 2b = 2 \cdot 18 = 36 \quad \text{и} \quad a + c = 27 + 9 = 36 \] - Для \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 9\): \[ 2b = 2 \cdot 6 = 12 \quad \text{и} \quad a + c = 3 + 9 = 12 \]

Таким образом, решение задачи дает два набора чисел: - \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 12\) - \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 12\) Ответ: \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 12\) или \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 12\)