Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии.

Ответ

120

Решение № 17433:

Для решения задачи о сумме десяти первых членов возрастающей арифметической прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Обозначим первый член арифметической прогрессии как \(a_1\), а разность прогрессии как \(d\).
2. Три первых члена арифметической прогрессии будут \(a_1\), \(a_1 + d\) и \(a_1 + 2d\).
3. Сумма этих трех членов равна 15: \[ a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 15 \]
4. Упростим уравнение: \[ 3a_1 + 3d = 15 \]
5. Разделим обе части уравнения на 3: \[ a_1 + d = 5 \]
6. Если от первых двух членов прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 1, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Обозначим эти числа как \(a_1 - 1\), \(a_1 + d - 1\) и \(a_1 + 2d + 1\).
7. Следовательно, числа \(a_1 - 1\), \(a_1 + d - 1\) и \(a_1 + 2d + 1\) будут членами геометрической прогрессии. Условие геометрической прогрессии: \[ (a_1 + d - 1)^2 = (a_1 - 1)(a_1 + 2d + 1) \]
8. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ (a_1 + d - 1)^2 = (a_1 - 1)(a_1 + 2d + 1) \] \[ a_1^2 + 2a_1d + d^2 - 2a_1 - 2d + 1 = a_1^2 + 2a_1d - a_1 - 2d - 1 \] \[ a_1^2 + 2a_1d + d^2 - 2a_1 - 2d + 1 = a_1^2 + 2a_1d - a_1 - 2d - 1 \] \[ d^2 = a_1 \]
9. Подставим \(d^2 = a_1\) в уравнение \(a_1 + d = 5\): \[ d^2 + d = 5 \]
10. Решим квадратное уравнение: \[ d^2 + d - 5 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ d = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \]
11. Поскольку прогрессия возрастающая, \(d\) должно быть положительным. Выберем положительное значение: \[ d = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \]
12. Теперь найдем \(a_1\): \[ a_1 = d^2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 \]
13. Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна: \[ S_{10} = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] где \(n = 10\): \[ S_{10} = \frac{10}{2} \left(2a_1 + 9d\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(2a_1 + 9d\right) \]
14. Подставим \(a_1\) и \(d\): \[ S_{10} = 5 \left(2 \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 9 \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)\right) \]
15. Упростим выражение: \[ S_{10} = 5 \left(2 \left(\frac{21 - 2\sqrt{21} + 1}{4}\right) + 9 \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(\frac{22 - 2\sqrt{21}}{2} + \frac{9(-1 + \sqrt{21})}{2}\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(\frac{22 - 2\sqrt{21} - 9 + 9\sqrt{21}}{2}\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(\frac{13 + 7\sqrt{21}}{2}\right) \] \[ S_{10} = \frac{5}{2} \left(13 + 7\sqrt{21}\right) \] \[ S_{10} = \frac{65 + 35\sqrt{21}}{2} \]

Таким образом, сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна \(\frac{65 + 35\sqrt{21}}{2}\). Ответ: \(\frac{65 + 35\sqrt{21}}{2}\)