Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18.

Ответ

{3;6;12;18, 18,75;11,25;6,75;2,25}

Решение № 17435:

Для решения задачи найдем четыре числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), которые удовлетворяют следующим условиям: 1. Первые три числа \(a\), \(b\), \(c\) составляют геометрическую прогрессию. 2. Последние три числа \(b\), \(c\), \(d\) составляют арифметическую прогрессию. 3. Сумма крайних чисел \(a + d = 21\). 4. Сумма средних чисел \(b + c = 18\). Выполним следующие шаги:

1. Запишем условия для геометрической прогрессии: \[ b = aq, \quad c = aq^2 \] где \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.
2. Запишем условия для арифметической прогрессии: \[ c = b + r, \quad d = c + r \] где \(r\) — разность арифметической прогрессии.
3. Используем условие суммы средних чисел: \[ b + c = 18 \] Подставим \(b = aq\) и \(c = aq^2\): \[ aq + aq^2 = 18 \] Вынесем \(a\) за скобки: \[ a(q + q^2) = 18 \]
4. Используем условие суммы крайних чисел: \[ a + d = 21 \] Подставим \(d = c + r\) и \(c = aq^2\): \[ a + (aq^2 + r) = 21 \] Подставим \(r = c - b = aq^2 - aq\): \[ a + (aq^2 + (aq^2 - aq)) = 21 \] Упростим: \[ a + 2aq^2 - aq = 21 \] Вынесем \(a\) за скобки: \[ a(1 + 2q^2 - q) = 21 \]
5. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} a(q + q^2) = 18 \\ a(1 + 2q^2 - q) = 21 \end{cases} \] Разделим первое уравнение на \(a\): \[ q + q^2 = \frac{18}{a} \] Разделим второе уравнение на \(a\): \[ 1 + 2q^2 - q = \frac{21}{a} \] Решим систему: \[ \begin{cases} q + q^2 = \frac{18}{a} \\ 1 + 2q^2 - q = \frac{21}{a} \end{cases} \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ 1 + 2q^2 - q - (q + q^2) = \frac{21}{a} - \frac{18}{a} \] Упростим: \[ 1 + q^2 - 2q = \frac{3}{a} \] Подставим \(q + q^2 = \frac{18}{a}\) в это уравнение: \[ 1 + \frac{18}{a} - 2q = \frac{3}{a} \] Умножим на \(a\): \[ a + 18 - 2aq = 3 \] Решим относительно \(q\): \[ 18 - 2aq = 3 - a \] \[ 2aq = 15 - a \] \[ q = \frac{15 - a}{2a} \]
6. Подставим \(q\) обратно в уравнение \(q + q^2 = \frac{18}{a}\): \[ \frac{15 - a}{2a} + \left(\frac{15 - a}{2a}\right)^2 = \frac{18}{a} \] Умножим на \(a\): \[ \frac{15 - a}{2} + \frac{(15 - a)^2}{4a} = 18 \] Умножим на 4: \[ 2(15 - a) + \frac{(15 - a)^2}{a} = 72 \] Умножим на \(a\): \[ 2a(15 - a) + (15 - a)^2 = 72a \] Решим квадратное уравнение: \[ 2a(15 - a) + (15 - a)^2 = 72a \] \[ 30a - 2a^2 + 225 - 30a + a^2 = 72a \] \[ -a^2 + 225 = 72a \] \[ a^2 + 72a - 225 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ a = \frac{-72 \pm \sqrt{72^2 + 4 \cdot 225}}{2} \] \[ a = \frac{-72 \pm \sqrt{5184 + 900}}{2} \] \[ a = \frac{-72 \pm \sqrt{6084}}{2} \] \[ a = \frac{-72 \pm 78}{2} \] \[ a = 3 \quad \text{или} \quad a = -75 \] Поскольку \(a\) должно быть положительным, выберем \(a = 3\).
7. Подставим \(a = 3\) в уравнение для \(q\): \[ q = \frac{15 - 3}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \]
8. Найдем \(b\), \(c\) и \(d\): \[ b = aq = 3 \cdot 2 = 6 \] \[ c = aq^2 = 3 \cdot 2^2 = 12 \] \[ d = c + r = 12 + (12 - 6) = 12 + 6 = 18 \]

Таким образом, четыре числа, удовлетворяющие условиям задачи, являются \(3\), \(6\), \(12\), \(18\).