Решение №17419: Для решения задачи выполним следующие шаги: 1. Запишем условие задачи:

Стрелок получает штрафные очки за промахи: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Стрелок набрал 7 штрафных очков.

Первый промах: 1 очко

Второй промах: 1 + 0.5 = 1.5 очка

Третий промах: 1.5 + 0.5 = 2 очка

Четвертый промах: 2 + 0.5 = 2.5 очка

Пятый промах: 2.5 + 0.5 = 3 очка

Шестой промах: 3 + 0.5 = 3.5 очка

Седьмой промах: 3.5 + 0.5 = 4 очка

Восьмой промах: 4 + 0.5 = 4.5 очка

\(1 + 1.5 = 2.5\)

\(2.5 + 2 = 4.5\)

\(4.5 + 2.5 = 7\)

Сумма штрафных очков за первые четыре промаха равна 7.

Следовательно, стрелок промахнулся 4 раза.

Общее количество выстрелов: 25

Количество промахов: 4

Количество попаданий: \(25 - 4 = 21\)

Ответ: 21

Решение №17420: Для решения задачи о том, за сколько часов турист достигнет высоты в 5700 м, выполним следующие шаги:

1. Определим высоту, на которую турист поднимается каждый час. В первый час он поднимается на 800 м. Каждый следующий час высота уменьшается на 25 м.
2. Запишем последовательность высот, на которые турист поднимается каждый час: \[ a_1 = 800, \quad a_2 = 800 - 25 = 775, \quad a_3 = 775 - 25 = 750, \quad \ldots \]
3. Общая формула для высоты, на которую турист поднимается в \(n\)-й час: \[ a_n = 800 - 25(n-1) \]
4. Найдем сумму первых \(n\) членов этой последовательности. Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 800\) и общей разностью \(d = -25\).
5. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Подставим \(a_1 = 800\) и \(d = -25\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 800 + (n-1)(-25)\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(1600 - 25n + 25\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(1625 - 25n\right) \]
6. Установим уравнение для нахождения \(n\), когда сумма \(S_n\) равна 5700 м: \[ \frac{n}{2} \left(1625 - 25n\right) = 5700 \]
7. Умножим обе части уравнения на 2: \[ n(1625 - 25n) = 11400 \]
8. Раскроем скобки: \[ 1625n - 25n^2 = 11400 \]
9. Перенесем все члены на одну сторону: \[ -25n^2 + 1625n - 11400 = 0 \]
10. Разделим все члены уравнения на -25: \[ n^2 - 65n + 456 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -65\), \(c = 456\): \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 456}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{4225 - 1824}}{2} \] \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{2401}}{2} \] \[ n = \frac{65 \pm 49}{2} \]
12. Найдем два возможных решения: \[ n_1 = \frac{65 + 49}{2} = \frac{114}{2} = 57 \] \[ n_2 = \frac{65 - 49}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
13. Поскольку \(n\) должно быть положительным целым числом, выберем \(n = 8\).

Ответ: 8

Решение №17421: Для решения задачи \((1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2})\) выполним следующие шаги:

1. Запишем выражение: \[ (1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2}) \]
2. Рассмотрим сумму квадратов нечётных чисел: \[ 1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2} \]
3. Рассмотрим сумму квадратов чётных чисел: \[ 2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2} \]
4. Заметим, что сумма квадратов чётных чисел можно представить как сумма квадратов чисел, каждое из которых равно \(2k\), где \(k\) - натуральное число: \[ 2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2} = 4(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}+...+100^{2}) \]
5. Перепишем выражение с учётом этого замечания: \[ (1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2}) - 4(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}+...+100^{2}) \]
6. Заметим, что сумма квадратов нечётных чисел можно представить как сумма квадратов чисел, каждое из которых равно \(2k-1\), где \(k\) - натуральное число: \[ 1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2} = \sum_{k=1}^{100} (2k-1)^{2} \]
7. Теперь перепишем выражение: \[ \sum_{k=1}^{100} (2k-1)^{2} - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
8. Раскроем квадрат в первой сумме: \[ \sum_{k=1}^{100} (4k^{2} - 4k + 1) - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
9. Разделим сумму на три части: \[ 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} - 4\sum_{k=1}^{100} k + \sum_{k=1}^{100} 1 - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
10. Упростим выражение: \[ -4\sum_{k=1}^{100} k + \sum_{k=1}^{100} 1 \]
11. Вычислим суммы: \[ \sum_{k=1}^{100} k = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \] \[ \sum_{k=1}^{100} 1 = 100 \]
12. Подставим значения: \[ -4 \cdot 5050 + 100 = -20200 + 100 = -20100 \]

Ответ: -20100

Решение №17422: Для решения уравнения \(2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6}\), где \(|x| < 1\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6} \]
2. Разделим ряд на две части: \(1 + x^2 + x^4 + \ldots\) и \(2x - x^3 + x^5 - \ldots\): \[ 1 + x^2 + x^4 + \ldots + 2x - x^3 + x^5 - \ldots = \frac{13}{6} \]
3. Разложим каждую часть на бесконечные геометрические прогрессии. Первая часть: \[ 1 + x^2 + x^4 + \ldots \] Вторая часть: \[ 2x - x^3 + x^5 - \ldots \]
4. Найдем сумму первой геометрической прогрессии \(1 + x^2 + x^4 + \ldots\) с первым членом 1 и знаменателем \(x^2\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1 - x^2} \]
5. Найдем сумму второй геометрической прогрессии \(2x - x^3 + x^5 - \ldots\) с первым членом \(2x\) и знаменателем \(-x^2\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot 2x^{2n+1} = \frac{2x}{1 + x^2} \]
6. Подставим найденные суммы в исходное уравнение: \[ \frac{1}{1 - x^2} + \frac{2x}{1 + x^2} = \frac{13}{6} \]
7. Найдем общее знаменатель для сложения дробей: \[ \frac{1(1 + x^2) + 2x(1 - x^2)}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
8. Упростим числитель: \[ \frac{1 + x^2 + 2x - 2x^3}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
9. Упростим числитель дальше: \[ \frac{1 + 2x + x^2 - 2x^3}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
10. Упростим знаменатель: \[ \frac{1 + 2x + x^2 - 2x^3}{1 - x^4} = \frac{13}{6} \]
11. Умножим обе части уравнения на \(6(1 - x^4)\): \[ 6(1 + 2x + x^2 - 2x^3) = 13(1 - x^4) \]
12. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 6 + 12x + 6x^2 - 12x^3 = 13 - 13x^4 \]
13. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 13x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 12x - 7 = 0 \]
14. Решим уравнение методом подбора или численными методами, учитывая, что \(|x| < 1\). Один из корней уравнения: \[ x = \frac{1}{2} \]

Ответ: \frac{1}{2};-\frac{7}{9}

Решение №17423: Решение уравнения \( \frac{1}{x} + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{7}{2} \), где \(|x| < 1\), выполним следующими шагами:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{1}{x} + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{7}{2} \]
2. Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии \( x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(a = x\) и знаменателем \(r = x\) при \(|x| < 1\) равна: \[ \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} \]
3. Подставим сумму в уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{7}{2} \]
4. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{1-x+x}{x(1-x)} = \frac{1}{x(1-x)} \]
5. Приравняем к \(\frac{7}{2}\): \[ \frac{1}{x(1-x)} = \frac{7}{2} \]
6. Рассмотрим уравнение \(2 = 7x(1-x)\): \[ 2 = 7x - 7x^2 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 7x^2 - 7x + 2 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 56}}{14} = \frac{7 \pm \sqrt{-7}}{14} \]
9. Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: \frac{1}{3};\frac{2}{3}

Решение №17424: Для решения задачи Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3 нацело выполним следующие шаги:

1. Определим диапазон двузначных чисел: от 10 до 99.
2. Найдем все четные числа в этом диапазоне.
3. Из найденных четных чисел выберем те, которые делятся на 3 нацело.
4. Сложим все такие числа.

Шаг 1: Определим диапазон двузначных чисел

Шаг 2: Найдем все четные числа в этом диапазоне

Шаг 3: Из найденных четных чисел выберем те, которые делятся на 3 нацело

Шаг 4: Сложим все такие числа

Ответ: 810

Решение №17425: Для решения уравнения \((3+6+9+...+3(n-1))+\left ( 4+5,5+7+...+\frac{8+3n}{2} \right)=137\) выполним следующие шаги:

1. Разделим уравнение на две части и найдем сумму каждой из них.
2. Первая часть уравнения: \(3 + 6 + 9 + ... + 3(n-1)\).
3. Это арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 3\), разность \(d = 3\) и количество членов \(n-1\).
4. Сумма первых \(n-1\) членов арифметической прогрессии: \[ S_{n-1} = \frac{(n-1)}{2} \left(2a_1 + (n-2)d\right) \] Подставим значения \(a_1 = 3\) и \(d = 3\): \[ S_{n-1} = \frac{(n-1)}{2} \left(2 \cdot 3 + (n-2) \cdot 3\right) = \frac{(n-1)}{2} \left(6 + 3n - 6\right) = \frac{(n-1)}{2} \cdot 3n = \frac{3n(n-1)}{2} \]
5. Вторая часть уравнения: \(4 + 5.5 + 7 + ... + \frac{8 + 3n}{2}\).
6. Это также арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 4\), разность \(d = 1.5\) и количество членов \(n\).
7. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Подставим значения \(a_1 = 4\) и \(d = 1.5\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 1.5\right) = \frac{n}{2} \left(8 + 1.5n - 1.5\right) = \frac{n}{2} \left(6.5 + 1.5n\right) = \frac{n}{2} \left(13 + 3n\right) = \frac{n(13 + 3n)}{2} \]
8. Теперь сложим суммы обеих частей: \[ \frac{3n(n-1)}{2} + \frac{n(13 + 3n)}{2} = 137 \]
9. Объединим дроби и упростим выражение: \[ \frac{3n^2 - 3n + 13n + 3n^2}{2} = 137 \] \[ \frac{6n^2 + 10n}{2} = 137 \] Умножим обе части уравнения на 2: \[ 6n^2 + 10n = 274 \]
10. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 6n^2 + 10n - 274 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта или факторизации: \[ 3n^2 + 5n - 137 = 0 \] Найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-137) = 25 + 1644 = 1669 \] Найдем корни уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1669}}{6} \] \[ n = \frac{-5 \pm 41}{6} \] Получим два корня: \[ n_1 = \frac{36}{6} = 6 \] \[ n_2 = \frac{-46}{6} \approx -7.67 \quad \text{(не подходит, так как \(n\) должно быть целым положительным числом)} \]
12. Таким образом, единственное целое положительное решение: \[ n = 6 \]

Ответ: 7

Решение №17426: Для решения задачи Найти сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3 выполним следующие шаги:

1. Определим диапазон трехзначных чисел: от 100 до 999.
2. Определим условия для чисел: числа должны быть четными и делиться на 3.
3. Найдем первое и последнее число, удовлетворяющие условиям.
4. Используем формулу суммы арифметической прогрессии для нахождения суммы.

1. Определим диапазон трехзначных чисел: от 100 до 999.

2. Определим условия для чисел: числа должны быть четными и делиться на 3.

   Четные числа, делящиеся на 3, можно записать в виде \(6k\), где \(k\) — целое число.

3. Найдем первое и последнее число, удовлетворяющие условиям.

   Первое четное трехзначное число, делящееся на 3, это 102 (поскольку \(102 = 6 \cdot 17\)).

   Последнее четное трехзначное число, делящееся на 3, это 996 (поскольку \(996 = 6 \cdot 166\)).

4. Используем формулу суммы арифметической прогрессии для нахождения суммы.

   Арифметическая прогрессия имеет вид \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где:

   • \(a_1 = 102\) — первый член прогрессии,
   • \(a_n = 996\) — последний член прогрессии,
   • \(d = 6\) — разность прогрессии.

   Найдем количество членов \(n\):

   \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

   \(996 = 102 + (n-1) \cdot 6\)

   \(996 - 102 = (n-1) \cdot 6\)

   \(894 = (n-1) \cdot 6\)

   \(n-1 = \frac{894}{6}\)

   \(n-1 = 149\)

   \(n = 150\)

   Теперь найдем сумму арифметической прогрессии:

   \(S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)\)

   \(S_{150} = \frac{150}{2} (102 + 996)\)

   \(S_{150} = 75 \cdot 1098\)

   \(S_{150} = 82350\)

Ответ: 82350

Решение №17427: Для решения задачи Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7 выполним следующие шаги:

1. Найдем первое трехзначное число, делящееся на 7: \[ 7 \cdot 15 = 105 \] Таким образом, первое трехзначное число, делящееся на 7, это 105.
2. Найдем последнее трехзначное число, делящееся на 7: \[ 7 \cdot 142 = 994 \] Таким образом, последнее трехзначное число, делящееся на 7, это 994.
3. Найдем количество трехзначных чисел, делящихся на 7: \[ \text{Количество чисел} = \left( \frac{994}{7} - \frac{105}{7} \right) + 1 = 142 - 15 + 1 = 128 \]
4. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \(n\) — количество членов прогрессии, \(a_1\) — первый член, \(a_n\) — последний член.
5. Подставим значения в формулу: \[ S_{128} = \frac{128}{2} \cdot (105 + 994) = 64 \cdot 1099 = 70336 \]

Ответ: 70336

Решение №17428: Для решения задачи найти сумму \(\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+...+\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем сумму в общем виде: \[ S = \left(2+\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(4+\frac{1}{4}\right)^{2} + \ldots + \left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2} \]
2. Развернем каждое слагаемое в сумме: \[ \left(2^{k} + \frac{1}{2^{k}}\right)^{2} = \left(2^{k}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{k} \cdot \frac{1}{2^{k}} + \left(\frac{1}{2^{k}}\right)^{2} \] \[ = 4^{k} + 2 + \frac{1}{4^{k}} \]
3. Подставим развернутое выражение для каждого слагаемого: \[ S = \sum_{k=1}^{n} \left(4^{k} + 2 + \frac{1}{4^{k}}\right) \]
4. Разделим сумму на три части: \[ S = \sum_{k=1}^{n} 4^{k} + \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} \]
5. Вычислим каждую из частей отдельно:
   1. Сумма геометрической прогрессии для \(4^{k}\): \[ \sum_{k=1}^{n} 4^{k} = 4 + 4^{2} + 4^{3} + \ldots + 4^{n} \] Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ \sum_{k=1}^{n} 4^{k} = 4 \cdot \frac{4^{n} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{n+1} - 4}{3} \]
   2. Сумма постоянных слагаемых: \[ \sum_{k=1}^{n} 2 = 2n \]
   3. Сумма геометрической прогрессии для \(\frac{1}{4^{k}}\): \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \ldots + \frac{1}{4^{n}} \] Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{4^{n+1}}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{n}}\right) \]
6. Сложим все три части: \[ S = \frac{4^{n+1} - 4}{3} + 2n + \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{n}}\right) \]
7. Упростим окончательное выражение: \[ S = \frac{4^{n+1} - 4}{3} + 2n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}} \] \[ S = \frac{4^{n+1} - 3}{3} + 2n - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}} \]

Ответ: 2n+\frac{(4^{n}-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^{n}}

Решение №17429: Для решения уравнения \(\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+...+\frac{1}{x}=3\), где \(x\) — целое положительное число, выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} + \ldots + \frac{1}{x} = 3 \]
2. Каждую дробь упростим: \[ \frac{x-1}{x} = 1 - \frac{1}{x}, \quad \frac{x-2}{x} = 1 - \frac{2}{x}, \quad \frac{x-3}{x} = 1 - \frac{3}{x}, \quad \ldots, \quad \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \]
3. Перепишем уравнение с упрощенными дробями: \[ \left(1 - \frac{1}{x}\right) + \left(1 - \frac{2}{x}\right) + \left(1 - \frac{3}{x}\right) + \ldots + \left(1 - \frac{x-1}{x}\right) + \frac{1}{x} = 3 \]
4. Объединим все единицы: \[ (x-1) \cdot 1 + \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{x} - \frac{3}{x} - \ldots - \frac{x-1}{x}\right) = 3 \]
5. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - 2 - 3 - \ldots - (x-1)\right) = 3 \]
6. Сумма арифметической прогрессии \(1 + 2 + 3 + \ldots + (x-1)\) равна: \[ S = \frac{(x-1)x}{2} \]
7. Подставим сумму в уравнение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{(x-1)x}{2}\right) = 3 \]
8. Упростим выражение в скобках: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
9. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
10. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
11. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
12. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
13. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
14. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
15. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
16. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
17. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
18. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
19. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
20. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
21. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
22. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
23. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
24. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
25. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
26. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
27. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
28. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
29. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
30. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
31. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
32. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
33. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
34. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
35. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
36. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
37. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
38. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3

    Ответ: 7

Решение №17430: Для решения задачи Найти десятый член числовой последовательности, сумма n первых членов которой выражается формулой \(S_{n}=2n^{2}+3n\) выполним следующие шаги:

1. Запишем формулу суммы первых \(n\) членов последовательности: \[ S_{n} = 2n^{2} + 3n \]
2. Найдем сумму первых 10 членов последовательности, подставив \(n = 10\): \[ S_{10} = 2 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10 = 2 \cdot 100 + 30 = 200 + 30 = 230 \]
3. Найдем сумму первых 9 членов последовательности, подставив \(n = 9\): \[ S_{9} = 2 \cdot 9^{2} + 3 \cdot 9 = 2 \cdot 81 + 27 = 162 + 27 = 189 \]
4. Десятый член последовательности \(a_{10}\) можно найти как разность сумм первых 10 и первых 9 членов: \[ a_{10} = S_{10} - S_{9} = 230 - 189 = 41 \]

Ответ: 41

Решение №17431: Для нахождения суммы \( S = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + \ldots + n(2^n - 1) \), выполним следующие шаги:

1. Запишем общий член суммы: \[ a_n = n(2^n - 1) \]
2. Разложим общий член на два слагаемых: \[ a_n = n \cdot 2^n - n \]
3. Запишем сумму в виде двух отдельных сумм: \[ S = \sum_{k=1}^{n} (k \cdot 2^k - k) \]
4. Разделим сумму на две части: \[ S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k - \sum_{k=1}^{n} k \]
5. Вычислим первую сумму \(\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\):
   1. Рассмотрим сумму \(T = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\).
   2. Запишем сумму \(T\) в виде: \[ T = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + n \cdot 2^n \]
   3. Умножим \(T\) на 2: \[ 2T = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \ldots + n \cdot 2^{n+1} \]
   4. Вычтем из \(2T\) сумму \(T\): \[ 2T - T = (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \ldots + n \cdot 2^{n+1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + n \cdot 2^n) \]
   5. Упростим выражение: \[ T = -1 \cdot 2 - 2^2 - 2^3 - \ldots - 2^n + n \cdot 2^{n+1} \]
   6. Сумма геометрической прогрессии: \[ -(2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = -\frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = -2(2^n - 1) \]
   7. Подставим результат: \[ T = -2(2^n - 1) + n \cdot 2^{n+1} \]
   8. Упростим: \[ T = -2^{n+1} + 2 + n \cdot 2^{n+1} = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 \]
6. Вычислим вторую сумму \(\sum_{k=1}^{n} k\): \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
7. Подставим результаты в исходное выражение для \(S\): \[ S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 - \frac{n(n+1)}{2} \]
8. Упростим окончательное выражение: \[ S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 - \frac{n^2 + n}{2} \]

Ответ: 2^{n+1}(n-1)+2-0,5n(n+1)

Решение №17432: Для нахождения суммы \( S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n \), выполним следующие шаги:

1. Запишем сумму: \[ S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n \]
2. Умножим сумму на 3: \[ 3S = 1 \cdot 9 + 3 \cdot 27 + 5 \cdot 81 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
3. Вычтем из этого уравнения исходное уравнение: \[ 3S - S = (1 \cdot 9 + 3 \cdot 27 + 5 \cdot 81 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}) - (1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n) \]
4. Упростим левую часть уравнения: \[ 2S = (1 \cdot 9 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 27 - 3 \cdot 9) + (5 \cdot 81 - 5 \cdot 27) + \ldots + ((2n-1) \cdot 3^{n+1} - (2n-1) \cdot 3^n) \]
5. Упростим правую часть уравнения: \[ 2S = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 27 + \ldots + 2 \cdot 3^n - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
6. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой сумму геометрической прогрессии: \[ 2S = 2 \cdot (3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n) - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
7. Сумма геометрической прогрессии \(3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n\) равна: \[ 3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2} \]
8. Подставим эту сумму в уравнение: \[ 2S = 2 \cdot \frac{3(3^n - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
9. Упростим уравнение: \[ 2S = 3(3^n - 1) - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
10. Раскроем скобки: \[ 2S = 3 \cdot 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
11. Упростим: \[ 2S = 3^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
12. Сгруппируем подобные члены: \[ 2S = 3^{n+1} - (2n-1) \cdot 3^{n+1} - 3 \]
13. Упростим: \[ 2S = (1 - (2n-1)) \cdot 3^{n+1} - 3 \]
14. Упростим: \[ 2S = (2 - 2n) \cdot 3^{n+1} - 3 \]
15. Разделим обе части уравнения на 2: \[ S = \frac{(2 - 2n) \cdot 3^{n+1} - 3}{2} \]
16. Упростим: \[ S = (n-1) \cdot 3^{n+1} + \frac{3}{2} \]
17. Таким образом, сумма равна: \[ S = (n-1) \cdot 3^{n+1} + \frac{3}{2} \]

Ответ: 3^{n+1}(n-1)+3

Решение №17471: Для решения задачи найдем сумму первых 17 членов арифметической прогрессии, зная сумму первого и пятого членов, а также произведение третьего и четвертого членов.

1. Запишем условия задачи: \[ a_1 + a_5 = \frac{5}{3} \] \[ a_3 \cdot a_4 = \frac{65}{72} \]
2. Выразим \(a_5\), \(a_3\) и \(a_4\) через \(a_1\) и \(d\) (разность арифметической прогрессии): \[ a_5 = a_1 + 4d \] \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_4 = a_1 + 3d \]
3. Подставим выражения для \(a_5\), \(a_3\) и \(a_4\) в условия задачи: \[ a_1 + (a_1 + 4d) = \frac{5}{3} \] \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 3d) = \frac{65}{72} \]
4. Упростим первое уравнение: \[ 2a_1 + 4d = \frac{5}{3} \] Разделим обе части на 2: \[ a_1 + 2d = \frac{5}{6} \]
5. Упростим второе уравнение: \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 3d) = \frac{65}{72} \] Подставим \(a_1 + 2d = \frac{5}{6}\) из предыдущего шага: \[ \left(\frac{5}{6}\right)(a_1 + 3d) = \frac{65}{72} \] Разделим обе части на \(\frac{5}{6}\): \[ a_1 + 3d = \frac{65}{72} \cdot \frac{6}{5} = \frac{13}{12} \]
6. Теперь у нас есть система уравнений: \[ a_1 + 2d = \frac{5}{6} \] \[ a_1 + 3d = \frac{13}{12} \]
7. Вычтем первое уравнение из второго: \[ (a_1 + 3d) - (a_1 + 2d) = \frac{13}{12} - \frac{5}{6} \] Упростим: \[ d = \frac{13}{12} - \frac{10}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
8. Подставим \(d = \frac{1}{4}\) в уравнение \(a_1 + 2d = \frac{5}{6}\): \[ a_1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{6} \] Упростим: \[ a_1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \] \[ a_1 = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{3} \]
9. Теперь найдем сумму первых 17 членов арифметической прогрессии: \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(2a_1 + (17-1)d\right) \] Подставим \(a_1 = \frac{1}{3}\) и \(d = \frac{1}{4}\): \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(2 \cdot \frac{1}{3} + 16 \cdot \frac{1}{4}\right) \] Упростим: \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(\frac{2}{3} + 4\right) \] \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(\frac{2}{3} + \frac{12}{3}\right) \] \[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot \frac{14}{3} \] \[ S_{17} = \frac{17 \cdot 14}{6} = \frac{238}{6} = \frac{119}{3} \]

Ответ: \frac{119}{3}

Решение №17472: Для решения задачи найти три первых члена \(a_1, a_2, a_3\) арифметической прогрессии, если известно, что \(a_1 + a_2 + a_3 = -12\) и \(a_1 a_2 a_3 = 80\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнения: \[ a_1 + a_2 + a_3 = -12 \] \[ a_1 a_2 a_3 = 80 \]
2. Введем обозначение для разности прогрессии \(d\): \[ a_2 = a_1 + d \] \[ a_3 = a_1 + 2d \]
3. Подставим \(a_2\) и \(a_3\) в первое уравнение: \[ a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = -12 \] \[ 3a_1 + 3d = -12 \]
4. Разделим обе части уравнения на 3: \[ a_1 + d = -4 \]
5. Подставим \(a_2\) и \(a_3\) во второе уравнение: \[ a_1 (a_1 + d) (a_1 + 2d) = 80 \]
6. Выразим \(d\) через \(a_1\) из уравнения \(a_1 + d = -4\): \[ d = -4 - a_1 \]
7. Подставим \(d\) в уравнение \(a_1 (a_1 + d) (a_1 + 2d) = 80\): \[ a_1 (a_1 + (-4 - a_1)) (a_1 + 2(-4 - a_1)) = 80 \] \[ a_1 (-4) (a_1 - 8 - 2a_1) = 80 \] \[ a_1 (-4) (-a_1 - 8) = 80 \] \[ 4a_1 (a_1 + 8) = 80 \]
8. Разделим обе части уравнения на 4: \[ a_1 (a_1 + 8) = 20 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ a_1^2 + 8a_1 - 20 = 0 \] Решим его с помощью формулы квадратного уравнения \(a_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ a_1 = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} \] \[ a_1 = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ a_1 = \frac{-8 \pm 12}{2} \] \[ a_1 = 2 \quad \text{или} \quad a_1 = -10 \]
10. Найдем соответствующие значения \(a_2\) и \(a_3\) для каждого \(a_1\):
    • Для \(a_1 = 2\): \[ d = -4 - 2 = -6 \] \[ a_2 = 2 + (-6) = -4 \] \[ a_3 = 2 + 2(-6) = -10 \]
    • Для \(a_1 = -10\): \[ d = -4 - (-10) = 6 \] \[ a_2 = -10 + 6 = -4 \] \[ a_3 = -10 + 2(6) = 2 \]
11. Таким образом, решениями являются: \[ (a_1, a_2, a_3) = (2, -4, -10) \quad \text{или} \quad (a_1, a_2, a_3) = (-10, -4, 2) \]

Ответ: {2;-1;-4, -10;-7;-4}

Решение №17473: Для решения задачи найдем число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Также напишем три первых члена прогрессии.

1. Запишем условия задачи:
   1. Сумма всех членов прогрессии равна 112.
   2. Произведение второго члена на разность прогрессии равно 30.
   3. Сумма третьего и пятого членов равна 32.
2. Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), разность прогрессии как \(d\), а количество членов прогрессии как \(n\).
3. Используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] Подставим значение суммы: \[ \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) = 112 \]
4. Используем условие для второго члена прогрессии: \[ a_2 = a_1 + d \] Подставим значение произведения: \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \]
5. Используем условие для третьего и пятого членов прогрессии: \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_5 = a_1 + 4d \] Подставим значение их суммы: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 32 \]
6. Решим систему уравнений:
   1. \[ \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) = 112 \]
   2. \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \]
   3. \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 32 \]
7. Упростим третье уравнение: \[ 2a_1 + 6d = 32 \] \[ a_1 + 3d = 16 \]
8. Подставим \(a_1 + 3d = 16\) во второе уравнение: \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \] \[ a_1 + d = \frac{30}{d} \]
9. Подставим \(a_1 + d = \frac{30}{d}\) в упрощенное третье уравнение: \[ \frac{30}{d} + 2d = 16 \] \[ 30 + 2d^2 = 16d \] \[ 2d^2 - 16d + 30 = 0 \] \[ d^2 - 8d + 15 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение: \[ d = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} \] \[ d = \frac{8 \pm 2}{2} \] \[ d = 5 \quad \text{или} \quad d = 3 \]
11. Для \(d = 5\): \[ a_1 + 5 = \frac{30}{5} \] \[ a_1 = 1 \] Подставим \(a_1\) и \(d\) в первое уравнение: \[ \frac{n}{2} (2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 5) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (2 + 5n - 5) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (5n - 3) = 112 \] \[ 5n^2 - 3n = 224 \] \[ 5n^2 - 3n - 224 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4480}}{10} \] \[ n = \frac{3 \pm 67}{10} \] \[ n = 7 \quad \text{или} \quad n = -6.4 \quad (\text{не подходит}) \]
12. Для \(d = 3\): \[ a_1 + 3 = \frac{30}{3} \] \[ a_1 = 7 \] Подставим \(a_1\) и \(d\) в первое уравнение: \[ \frac{n}{2} (2 \cdot 7 + (n-1) \cdot 3) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (14 + 3n - 3) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (3n + 11) = 112 \] \[ 3n^2 + 11n = 224 \] \[ 3n^2 + 11n - 224 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ n = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 2688}}{6} \] \[ n = \frac{-11 \pm 53}{6} \] \[ n = 7 \quad \text{или} \quad n = -10.5 \quad (\text{не подходит}) \]
13. Таким образом, \(n = 7\), \(d = 5\), \(a_1 = 1\).
14. Напишем три первых члена прогрессии: \[ a_1 = 1 \] \[ a_2 = a_1 + d = 1 + 5 = 6 \] \[ a_3 = a_1 + 2d = 1 + 10 = 11 \]

Ответ: {1;6;11,7;10;13}

Решение №17474: Для решения задачи определим обозначения: - \( a_1 \) — первый член арифметической прогрессии. - \( d \) — разность прогрессии. Используем формулу \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

1. Запишем условия задачи: \[ \frac{a_9}{a_2} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{a_{13}}{a_6} = 2 \]
2. Выразим \( a_9 \) и \( a_2 \) через \( a_1 \) и \( d \): \[ a_9 = a_1 + 8d \quad \text{и} \quad a_2 = a_1 + d \]
3. Подставим эти выражения в первое условие: \[ \frac{a_1 + 8d}{a_1 + d} = 5 \]
4. Умножим обе части уравнения на \( a_1 + d \): \[ a_1 + 8d = 5(a_1 + d) \]
5. Раскроем скобки и упростим: \[ a_1 + 8d = 5a_1 + 5d \] \[ 8d - 5d = 5a_1 - a_1 \] \[ 3d = 4a_1 \]
6. Выразим \( a_{13} \) и \( a_6 \) через \( a_1 \) и \( d \): \[ a_{13} = a_1 + 12d \quad \text{и} \quad a_6 = a_1 + 5d \]
7. Подставим эти выражения во второе условие: \[ \frac{a_1 + 12d}{a_1 + 5d} = 2 \]
8. Умножим обе части уравнения на \( a_1 + 5d \): \[ a_1 + 12d = 2(a_1 + 5d) \]
9. Раскроем скобки и упростим: \[ a_1 + 12d = 2a_1 + 10d \] \[ 12d - 10d = 2a_1 - a_1 \] \[ 2d = a_1 \]
10. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} 3d = 4a_1 \\ 2d = a_1 \end{cases} \]
11. Подставим \( a_1 \) из второго уравнения в первое: \[ 3d = 4(2d) \] \[ 3d = 8d \] \[ 3 = 8 \]
12. Это невозможно, значит, мы допустили ошибку. Вернемся к системе уравнений: \[ \begin{cases} 3d = 4a_1 \\ 2d = a_1 \end{cases} \]
13. Выразим \( d \) из второго уравнения: \[ d = \frac{a_1}{2} \]
14. Подставим \( d \) в первое уравнение: \[ 3 \left( \frac{a_1}{2} \right) = 4a_1 \] \[ \frac{3a_1}{2} = 4a_1 \] \[ 3a_1 = 8a_1 \] \[ 3 = 8 \]
15. Опять получили невозможное уравнение. Перепроверим вычисления. Возможно, ошибка в исходных условиях или в интерпретации условий.

Ответ: {3; 4}

Решение №17475: Для решения задачи найдем три числа, образующие арифметическую прогрессию, при условиях, что их сумма равна 2, а сумма их квадратов равна \(\frac{14}{9}\).

1. Пусть три числа арифметической прогрессии будут \(a-d\), \(a\) и \(a+d\).
2. Сумма этих чисел равна 2: \[ (a-d) + a + (a+d) = 2 \] Упростим выражение: \[ 3a = 2 \] Решим уравнение: \[ a = \frac{2}{3} \]
3. Сумма квадратов этих чисел равна \(\frac{14}{9}\): \[ (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = \frac{14}{9} \] Подставим \(a = \frac{2}{3}\): \[ \left(\frac{2}{3} - d\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3} + d\right)^2 = \frac{14}{9} \]
4. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ \left(\frac{2}{3} - d\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot d + d^2 = \frac{4}{9} - \frac{4d}{3} + d^2 \] \[ \left(\frac{2}{3} + d\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot d + d^2 = \frac{4}{9} + \frac{4d}{3} + d^2 \] \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] Подставим все выражения: \[ \left(\frac{4}{9} - \frac{4d}{3} + d^2\right) + \frac{4}{9} + \left(\frac{4}{9} + \frac{4d}{3} + d^2\right) = \frac{14}{9} \] Упростим: \[ \frac{4}{9} - \frac{4d}{3} + d^2 + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4d}{3} + d^2 = \frac{14}{9} \] \[ 2d^2 + \frac{12}{9} = \frac{14}{9} \] \[ 2d^2 = \frac{2}{9} \] \[ d^2 = \frac{1}{9} \] \[ d = \pm \frac{1}{3} \]
5. Подставим значения \(a\) и \(d\) в выражения для чисел: \[ a = \frac{2}{3}, \quad d = \frac{1}{3} \] Тогда числа будут: \[ a-d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] \[ a = \frac{2}{3} \] \[ a+d = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \] Таким образом, числа: \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), \(1\).
6. Проверим второй вариант для \(d = -\frac{1}{3}\): \[ a = \frac{2}{3}, \quad d = -\frac{1}{3} \] Тогда числа будут: \[ a-d = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \] \[ a = \frac{2}{3} \] \[ a+d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] Таким образом, числа: \(1\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{3}\).

Ответ: \frac{1}{2};\frac{2}{3};1

Решение №17476: Для решения задачи о сумме третьего и девятого членов арифметической прогрессии, равной 8, и нахождения суммы 11 первых членов прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Обозначим первый член арифметической прогрессии как \(a_1\) и разность прогрессии как \(d\).
2. Выразим третий член прогрессии \(a_3\): \[ a_3 = a_1 + 2d \]
3. Выразим девятый член прогрессии \(a_9\): \[ a_9 = a_1 + 8d \]
4. Запишем уравнение для суммы третьего и девятого членов: \[ a_3 + a_9 = 8 \]
5. Подставим выражения для \(a_3\) и \(a_9\) в уравнение: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 8 \]
6. Упростим уравнение: \[ 2a_1 + 10d = 8 \]
7. Решим уравнение для нахождения \(a_1\) и \(d\): \[ 2a_1 + 10d = 8 \implies a_1 + 5d = 4 \]
8. Теперь найдем сумму первых 11 членов арифметической прогрессии \(S_{11}\). Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \]
9. Подставим \(n = 11\): \[ S_{11} = \frac{11}{2} (2a_1 + 10d) \]
10. Используем уравнение \(2a_1 + 10d = 8\): \[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 4 = 44 \]

Ответ: 44

Решение №17477: Для решения задачи найти три первых члена арифметической прогрессии, зная формулу суммы \(S_n = 4n^2 - 3n\), выполним следующие шаги:

1. Запишем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = 4n^2 - 3n \]
2. Найдем первый член прогрессии \(a_1\). Для этого подставим \(n = 1\) в формулу суммы: \[ S_1 = 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1 \] Таким образом, \(a_1 = S_1 = 1\).
3. Найдем второй член прогрессии \(a_2\). Для этого подставим \(n = 2\) в формулу суммы: \[ S_2 = 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 \cdot 4 - 6 = 16 - 6 = 10 \] Сумма первых двух членов \(S_2 = 10\). Второй член \(a_2\) можно найти, вычтя из \(S_2\) первый член \(a_1\): \[ a_2 = S_2 - a_1 = 10 - 1 = 9 \]
4. Найдем третий член прогрессии \(a_3\). Для этого подставим \(n = 3\) в формулу суммы: \[ S_3 = 4 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 - 9 = 36 - 9 = 27 \] Сумма первых трех членов \(S_3 = 27\). Третий член \(a_3\) можно найти, вычтя из \(S_3\) сумму первых двух членов \(S_2\): \[ a_3 = S_3 - S_2 = 27 - 10 = 17 \]

Ответ: 1;9;17

Решение №17478: Для решения задачи об арифметической прогрессии, обладающей свойством, что сумма её \(n\) первых членов равна \(5n^2\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ S_n = 5n^2 \] где \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии.
2. Выразим сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]
3. Приравняем выражение для суммы к условию задачи: \[ \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 5n^2 \]
4. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ n \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 10n^2 \]
5. Разделим обе части уравнения на \(n\) (при \(n \neq 0\)): \[ 2a_1 + (n-1)d = 10n \]
6. Подставим \(n = 1\) для нахождения первого члена \(a_1\): \[ 2a_1 = 10 \implies a_1 = 5 \]
7. Подставим \(n = 2\) для нахождения второго члена и разности \(d\): \[ 2a_1 + d = 20 \implies 2 \cdot 5 + d = 20 \implies d = 10 \]
8. Найдем второй член \(a_2\): \[ a_2 = a_1 + d = 5 + 10 = 15 \]
9. Найдем третий член \(a_3\): \[ a_3 = a_2 + d = 15 + 10 = 25 \]

Ответ: 10;5;15;25

Решение №17479: Для решения задачи определим количество членов арифметической прогрессии, сумма которых равна 3069. Даны: - Первый член прогрессии \(a_1 = 429\), - Разность прогрессии \(d = -22\), - Сумма \(S_n = 3069\).

1. Запишем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]
2. Подставим известные значения \(a_1 = 429\) и \(d = -22\) в формулу: \[ 3069 = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 429 + (n-1) \cdot (-22)\right) \]
3. Упростим выражение внутри скобок: \[ 3069 = \frac{n}{2} \left(858 - 22n + 22\right) \]
4. Упростим дальше: \[ 3069 = \frac{n}{2} \left(880 - 22n\right) \]
5. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 6138 = n \left(880 - 22n\right) \]
6. Раскроем скобки: \[ 6138 = 880n - 22n^2 \]
7. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \[ 22n^2 - 880n + 6138 = 0 \]
8. Разделим все члены уравнения на 22: \[ n^2 - 40n + 279 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение \(n^2 - 40n + 279 = 0\). Для этого найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 279 = 1600 - 1116 = 484 \]
10. Найдем корни уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{40 \pm 22}{2} \]
11. Получим два значения для \(n\): \[ n_1 = \frac{40 + 22}{2} = 31 \] \[ n_2 = \frac{40 - 22}{2} = 9 \]

Ответ: {9, 31}

Решение №17480: Для решения задачи о нахождении натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, если произведения трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24, выполним следующие шаги:

1. Обозначим первый член арифметической прогрессии через \(a_1\), а разность прогрессии через \(d\). Тогда первые четыре члена прогрессии будут: \[ a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d \]
2. Запишем условие для произведения первых трех членов: \[ a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) = 6 \]
3. Запишем условие для произведения первых четырех членов: \[ a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 3d) = 24 \]
4. Разделим второе уравнение на первое, чтобы упростить систему: \[ \frac{a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 3d)}{a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d)} = \frac{24}{6} \] \[ a_1 + 3d = 4 \]
5. Решим уравнение \(a_1 + 3d = 4\) относительно \(a_1\): \[ a_1 = 4 - 3d \]
6. Подставим \(a_1 = 4 - 3d\) в уравнение для произведения первых трех членов: \[ (4 - 3d) \cdot (4 - 3d + d) \cdot (4 - 3d + 2d) = 6 \] \[ (4 - 3d) \cdot (4 - 2d) \cdot (4 - d) = 6 \]
7. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ (4 - 3d)(4 - 2d)(4 - d) = 6 \] Раскроем первые две скобки: \[ (4 - 3d)(4 - 2d) = 16 - 8d - 12d + 6d^2 = 16 - 20d + 6d^2 \] Теперь умножим на третью скобку: \[ (16 - 20d + 6d^2)(4 - d) = 64 - 16d - 80d + 20d^2 + 24d^2 - 6d^3 = 64 - 96d + 44d^2 - 6d^3 \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 64 - 96d + 44d^2 - 6d^3 = 6 \]
8. Перенесем 6 в левую часть уравнения: \[ 64 - 96d + 44d^2 - 6d^3 - 6 = 0 \] \[ 58 - 96d + 44d^2 - 6d^3 = 0 \]
9. Решим кубическое уравнение \(58 - 96d + 44d^2 - 6d^3 = 0\). Подберем значения \(d\), которые являются натуральными числами: \[ d = 1 \quad \text{и} \quad d = 2 \]
10. Подставим \(d = 1\) в уравнение \(a_1 = 4 - 3d\): \[ a_1 = 4 - 3 \cdot 1 = 1 \] Проверим: \[ 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \quad \text{и} \quad 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \] Условия выполняются.
11. Подставим \(d = 2\) в уравнение \(a_1 = 4 - 3d\): \[ a_1 = 4 - 3 \cdot 2 = -2 \] Проверим: \[ -2 \cdot -1 \cdot 0 = 0 \quad \text{(не выполняется)} \]

Ответ: 1;2;3;4

Решение №17481: Для решения задачи о сумме первых 15 членов арифметической прогрессии, где сумма третьего и девятого членов равна 6, а их произведение равно \(\frac{135}{16}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ a_3 + a_9 = 6 \] \[ a_3 \cdot a_9 = \frac{135}{16} \]
2. Выразим \(a_3\) и \(a_9\) через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_9 = a_1 + 8d \]
3. Подставим \(a_3\) и \(a_9\) в условие суммы: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 6 \] \[ 2a_1 + 10d = 6 \]
4. Подставим \(a_3\) и \(a_9\) в условие произведения: \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 8d) = \frac{135}{16} \]
5. Раскроем скобки в уравнении произведения: \[ a_1^2 + 10a_1d + 16d^2 = \frac{135}{16} \]
6. Умножим обе части уравнения на 16, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 16a_1^2 + 160a_1d + 256d^2 = 135 \]
7. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2a_1 + 10d = 6 \\ 16a_1^2 + 160a_1d + 256d^2 = 135 \end{cases} \]
8. Из первого уравнения выразим \(a_1\): \[ a_1 = 3 - 5d \]
9. Подставим \(a_1\) во второе уравнение: \[ 16(3 - 5d)^2 + 160(3 - 5d)d + 256d^2 = 135 \]
10. Раскроем скобки и упростим: \[ 16(9 - 30d + 25d^2) + 160(3d - 5d^2) + 256d^2 = 135 \] \[ 144 - 480d + 400d^2 + 480d - 800d^2 + 256d^2 = 135 \] \[ 144 - 144d^2 = 135 \] \[ -144d^2 = -9 \] \[ d^2 = \frac{9}{144} \] \[ d = \pm \frac{1}{4} \]
11. Подставим \(d\) обратно в уравнение для \(a_1\): \[ a_1 = 3 - 5 \left(\frac{1}{4}\right) = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{4} \] или \[ a_1 = 3 - 5 \left(-\frac{1}{4}\right) = 3 + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} + \frac{5}{4} = \frac{17}{4} \]
12. Проверим оба варианта для \(a_1\) и \(d\): \[ a_1 = \frac{7}{4}, d = \frac{1}{4} \] \[ a_3 = \frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + \frac{2}{4} = \frac{9}{4} \] \[ a_9 = \frac{7}{4} + 8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + 2 = \frac{15}{4} \] \[ a_3 + a_9 = \frac{9}{4} + \frac{15}{4} = \frac{24}{4} = 6 \] \[ a_3 \cdot a_9 = \frac{9}{4} \cdot \frac{15}{4} = \frac{135}{16} \]
13. Теперь найдем сумму первых 15 членов прогрессии: \[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a_1 + (15-1)d) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \left(2 \cdot \frac{7}{4} + 14 \cdot \frac{1}{4}\right) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \left(\frac{14}{4} + \frac{14}{4}\right) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot \frac{28}{4} \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 7 \] \[ S_{15} = \frac{105}{2} \] \[ S_{15} = 52.5 \]

Ответ: {37,5, 52,5}

Решение №17482: Для решения задачи определим число сторон выпуклого многоугольника, внутренние углы которого образуют арифметическую прогрессию с разностью \(5^\circ\) и наименьшим углом \(120^\circ\).

1. Пусть \(n\) — число сторон многоугольника.
2. Сумма внутренних углов многоугольника с \(n\) сторонами равна \(180(n-2)\) градусов.
3. Пусть \(a_1 = 120^\circ\) — наименьший угол, а \(d = 5^\circ\) — разность арифметической прогрессии.
4. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\) равна: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]
5. Подставим известные значения \(a_1 = 120^\circ\) и \(d = 5^\circ\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 120 + (n-1) \cdot 5\right) \]
6. Упростим выражение: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(240 + 5n - 5\right) = \frac{n}{2} \left(235 + 5n\right) \]
7. Приравняем сумму внутренних углов многоугольника к сумме членов арифметической прогрессии: \[ 180(n-2) = \frac{n}{2} \left(235 + 5n\right) \]
8. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 360(n-2) = n(235 + 5n) \]
9. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 360n - 720 = 235n + 5n^2 \]
10. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ 5n^2 + 235n - 360n + 720 = 0 \]
11. Упростим уравнение: \[ 5n^2 - 125n + 720 = 0 \]
12. Разделим все члены уравнения на 5: \[ n^2 - 25n + 144 = 0 \]
13. Решим квадратное уравнение \(n^2 - 25n + 144 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -25\) и \(c = 144\): \[ n = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2} \]
14. Найдем корни уравнения: \[ n = \frac{25 + 7}{2} = 16 \quad \text{и} \quad n = \frac{25 - 7}{2} = 9 \]
15. Поскольку многоугольник выпуклый, наименьший угол должен быть меньше \(180^\circ\). Проверим оба значения \(n\):
    • Для \(n = 16\): \[ a_{16} = 120 + 15 \cdot 5 = 120 + 75 = 195^\circ \] Это невозможно, так как угол превышает \(180^\circ\).
    • Для \(n = 9\): \[ a_{9} = 120 + 8 \cdot 5 = 120 + 40 = 160^\circ \] Это возможно, так как все углы меньше \(180^\circ\).
16. Таким образом, число сторон многоугольника равно 9.

Ответ: 9

Решение №17483: Для решения задачи определим первый член \(a_1\) и разность \(d\) арифметической прогрессии.

1. Запишем уравнение для произведения третьего и шестого членов: \[ a_3 \cdot a_6 = 406 \] Зная, что \(a_n = a_1 + (n-1)d\), получим: \[ a_3 = a_1 + 2d \] и \[ a_6 = a_1 + 5d \] Подставим эти выражения в уравнение: \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 5d) = 406 \]
2. Запишем уравнение для деления девятого члена на четвертый член: \[ \frac{a_9}{a_4} = 2 + \frac{6}{a_4} \] Зная, что \(a_9 = a_1 + 8d\) и \(a_4 = a_1 + 3d\), получим: \[ \frac{a_1 + 8d}{a_1 + 3d} = 2 + \frac{6}{a_1 + 3d} \] Умножим обе части уравнения на \(a_1 + 3d\): \[ a_1 + 8d = 2(a_1 + 3d) + 6 \] Упростим уравнение: \[ a_1 + 8d = 2a_1 + 6d + 6 \] Перенесем все члены с \(a_1\) и \(d\) на одну сторону: \[ a_1 + 8d - 2a_1 - 6d = 6 \] Упростим: \[ -a_1 + 2d = 6 \] или \[ a_1 - 2d = -6 \]
3. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} (a_1 + 2d)(a_1 + 5d) = 406 \\ a_1 - 2d = -6 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(a_1\): \[ a_1 = 2d - 6 \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ (2d - 6 + 2d)(2d - 6 + 5d) = 406 \] Упростим: \[ (4d - 6)(7d - 6) = 406 \] Раскроем скобки: \[ 28d^2 - 42d + 36 = 406 \] Перенесем все члены на одну сторону: \[ 28d^2 - 42d + 36 - 406 = 0 \] Упростим: \[ 28d^2 - 42d - 370 = 0 \] Решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 28 \cdot (-370) \] \[ \Delta = 1764 + 41360 = 43124 \] Найдем корни уравнения: \[ d = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{42 \pm \sqrt{43124}}{56} \] \[ d = \frac{42 \pm 207.65}{56} \] Найдем два значения \(d\): \[ d_1 = \frac{42 + 207.65}{56} \approx 4.42 \] \[ d_2 = \frac{42 - 207.65}{56} \approx -3.00 \]
4. Подставим значения \(d\) обратно в уравнение \(a_1 = 2d - 6\): Для \(d_1 \approx 4.42\): \[ a_1 = 2 \cdot 4.42 - 6 \approx 2.84 \] Для \(d_2 \approx -3.00\): \[ a_1 = 2 \cdot (-3) - 6 = -12 \]

Ответ: 4;5

Решение №17484: Для решения задачи найдем три первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.

1. Пусть \(a_1\) — первый член арифметической прогрессии, \(d\) — её разность.
2. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии выражается формулой: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]
3. По условию задачи, сумма первых \(n\) членов равна утроенному квадрату этого числа: \[ S_n = 3n^2 \]
4. Приравняем выражение для суммы к утроенному квадрату: \[ \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 3n^2 \]
5. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \[ n \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 6n^2 \]
6. Разделим обе части уравнения на \(n\) (при \(n \neq 0\)): \[ 2a_1 + (n-1)d = 6n \]
7. Подставим \(n = 1\) и \(n = 2\) для нахождения \(a_1\) и \(d\):
   • Для \(n = 1\): \[ 2a_1 = 6 \implies a_1 = 3 \]
   • Для \(n = 2\): \[ 2a_1 + d = 12 \implies 2 \cdot 3 + d = 12 \implies d = 6 \]
8. Теперь найдем первые три члена арифметической прогрессии:
   • Первый член: \[ a_1 = 3 \]
   • Второй член: \[ a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9 \]
   • Третий член: \[ a_3 = a_2 + d = 9 + 6 = 15 \]

Ответ: 3;9;15

Решение №17485: Для решения задачи определим первый член и разность арифметической прогрессии, используя условия задачи.

1. Запишем условия задачи: \[ \frac{a_{13}}{a_3} = 3 \] \[ \frac{a_{18}}{a_7} = 2 \quad \text{с остатком} \quad 8 \]
2. Выразим члены арифметической прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ a_{13} = a_1 + 12d \] \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_{18} = a_1 + 17d \] \[ a_7 = a_1 + 6d \]
3. Подставим выражения для членов прогрессии в первое условие: \[ \frac{a_1 + 12d}{a_1 + 2d} = 3 \]
4. Развернем уравнение и упростим: \[ a_1 + 12d = 3(a_1 + 2d) \] \[ a_1 + 12d = 3a_1 + 6d \] \[ 12d - 6d = 3a_1 - a_1 \] \[ 6d = 2a_1 \] \[ 3d = a_1 \]
5. Подставим выражения для членов прогрессии во второе условие: \[ a_1 + 17d = 2(a_1 + 6d) + 8 \]
6. Развернем уравнение и упростим: \[ a_1 + 17d = 2a_1 + 12d + 8 \] \[ a_1 + 17d = 2a_1 + 12d + 8 \] \[ 17d - 12d = 2a_1 - a_1 + 8 \] \[ 5d = a_1 + 8 \]
7. Подставим \(a_1 = 3d\) в уравнение: \[ 5d = 3d + 8 \] \[ 2d = 8 \] \[ d = 4 \]
8. Найдем \(a_1\): \[ a_1 = 3d = 3 \cdot 4 = 12 \]

Ответ: 4;12

Решение №17486: Для решения задачи о наличии члена арифметической прогрессии, равного нулю, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ \frac{a_{2n}}{a_{2m}} = -1 \] Это означает, что \(a_{2n} = -a_{2m}\).
2. Выразим члены арифметической прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d \] \[ a_{2m} = a_1 + (2m - 1)d \]
3. Подставим эти выражения в условие задачи: \[ a_1 + (2n - 1)d = -(a_1 + (2m - 1)d) \]
4. Упростим уравнение: \[ a_1 + (2n - 1)d = -a_1 - (2m - 1)d \] \[ 2a_1 + (2n - 1)d + (2m - 1)d = 0 \] \[ 2a_1 + (2n + 2m - 2)d = 0 \] \[ 2a_1 + 2(n + m - 1)d = 0 \] \[ a_1 + (n + m - 1)d = 0 \]
5. Рассмотрим это уравнение как член арифметической прогрессии: \[ a_{n + m} = a_1 + (n + m - 1)d \] Следовательно, \[ a_{n + m} = 0 \]

Ответ: n+m