Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность ее равна -22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?
Ответ
{9, 31}
Решение № 17479:
Для решения задачи определим количество членов арифметической прогрессии, сумма которых равна 3069. Даны:
- Первый член прогрессии \(a_1 = 429\),
- Разность прогрессии \(d = -22\),
- Сумма \(S_n = 3069\).
- Запишем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[
S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right)
\]
- Подставим известные значения \(a_1 = 429\) и \(d = -22\) в формулу:
\[
3069 = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 429 + (n-1) \cdot (-22)\right)
\]
- Упростим выражение внутри скобок:
\[
3069 = \frac{n}{2} \left(858 - 22n + 22\right)
\]
- Упростим дальше:
\[
3069 = \frac{n}{2} \left(880 - 22n\right)
\]
- Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[
6138 = n \left(880 - 22n\right)
\]
- Раскроем скобки:
\[
6138 = 880n - 22n^2
\]
- Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
22n^2 - 880n + 6138 = 0
\]
- Разделим все члены уравнения на 22:
\[
n^2 - 40n + 279 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение \(n^2 - 40n + 279 = 0\). Для этого найдем дискриминант \(D\):
\[
D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 279 = 1600 - 1116 = 484
\]
- Найдем корни уравнения:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{40 \pm 22}{2}
\]
- Получим два значения для \(n\):
\[
n_1 = \frac{40 + 22}{2} = 31
\]
\[
n_2 = \frac{40 - 22}{2} = 9
\]
Таким образом, количество членов арифметической прогрессии, сумма которых равна 3069, может быть \(n = 31\) или \(n = 9\).
Ответ: 31 или 9