Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если произведения трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24.

Ответ

1;2;3;4

Решение № 17480:

Для решения задачи о нахождении натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, если произведения трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24, выполним следующие шаги:

1. Обозначим первый член арифметической прогрессии через \(a_1\), а разность прогрессии через \(d\). Тогда первые четыре члена прогрессии будут: \[ a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d \]
2. Запишем условие для произведения первых трех членов: \[ a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) = 6 \]
3. Запишем условие для произведения первых четырех членов: \[ a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 3d) = 24 \]
4. Разделим второе уравнение на первое, чтобы упростить систему: \[ \frac{a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 3d)}{a_1 \cdot (a_1 + d) \cdot (a_1 + 2d)} = \frac{24}{6} \] \[ a_1 + 3d = 4 \]
5. Решим уравнение \(a_1 + 3d = 4\) относительно \(a_1\): \[ a_1 = 4 - 3d \]
6. Подставим \(a_1 = 4 - 3d\) в уравнение для произведения первых трех членов: \[ (4 - 3d) \cdot (4 - 3d + d) \cdot (4 - 3d + 2d) = 6 \] \[ (4 - 3d) \cdot (4 - 2d) \cdot (4 - d) = 6 \]
7. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ (4 - 3d)(4 - 2d)(4 - d) = 6 \] Раскроем первые две скобки: \[ (4 - 3d)(4 - 2d) = 16 - 8d - 12d + 6d^2 = 16 - 20d + 6d^2 \] Теперь умножим на третью скобку: \[ (16 - 20d + 6d^2)(4 - d) = 64 - 16d - 80d + 20d^2 + 24d^2 - 6d^3 = 64 - 96d + 44d^2 - 6d^3 \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 64 - 96d + 44d^2 - 6d^3 = 6 \]
8. Перенесем 6 в левую часть уравнения: \[ 64 - 96d + 44d^2 - 6d^3 - 6 = 0 \] \[ 58 - 96d + 44d^2 - 6d^3 = 0 \]
9. Решим кубическое уравнение \(58 - 96d + 44d^2 - 6d^3 = 0\). Подберем значения \(d\), которые являются натуральными числами: \[ d = 1 \quad \text{и} \quad d = 2 \]
10. Подставим \(d = 1\) в уравнение \(a_1 = 4 - 3d\): \[ a_1 = 4 - 3 \cdot 1 = 1 \] Проверим: \[ 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \quad \text{и} \quad 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \] Условия выполняются.
11. Подставим \(d = 2\) в уравнение \(a_1 = 4 - 3d\): \[ a_1 = 4 - 3 \cdot 2 = -2 \] Проверим: \[ -2 \cdot -1 \cdot 0 = 0 \quad \text{(не выполняется)} \]

Таким образом, единственное решение задачи: \[ a_1 = 1, \quad d = 1 \] Ответ: \(a_1 = 1, \quad d = 1\)