Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: при любом n сумма ее n первых членов равна \(5n^{2}\). Найти разность прогрессии и три первых се члена.

Ответ

10;5;15;25

Решение № 17478:

Для решения задачи об арифметической прогрессии, обладающей свойством, что сумма её \(n\) первых членов равна \(5n^2\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ S_n = 5n^2 \] где \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии.
2. Выразим сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]
3. Приравняем выражение для суммы к условию задачи: \[ \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 5n^2 \]
4. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ n \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 10n^2 \]
5. Разделим обе части уравнения на \(n\) (при \(n \neq 0\)): \[ 2a_1 + (n-1)d = 10n \]
6. Подставим \(n = 1\) для нахождения первого члена \(a_1\): \[ 2a_1 = 10 \implies a_1 = 5 \]
7. Подставим \(n = 2\) для нахождения второго члена и разности \(d\): \[ 2a_1 + d = 20 \implies 2 \cdot 5 + d = 20 \implies d = 10 \]
8. Найдем второй член \(a_2\): \[ a_2 = a_1 + d = 5 + 10 = 15 \]
9. Найдем третий член \(a_3\): \[ a_3 = a_2 + d = 15 + 10 = 25 \]

Таким образом, разность прогрессии \(d = 10\), а первые три члена прогрессии: \(a_1 = 5\), \(a_2 = 15\), \(a_3 = 25\). Ответ: Разность прогрессии \(d = 10\), первые три члена: \(5, 15, 25\).