Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Написать три первых члена прогрессии.

Ответ

{1;6;11,7;10;13}

Решение № 17473:

Для решения задачи найдем число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Также напишем три первых члена прогрессии.

1. Запишем условия задачи:
   1. Сумма всех членов прогрессии равна 112.
   2. Произведение второго члена на разность прогрессии равно 30.
   3. Сумма третьего и пятого членов равна 32.
2. Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), разность прогрессии как \(d\), а количество членов прогрессии как \(n\).
3. Используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] Подставим значение суммы: \[ \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) = 112 \]
4. Используем условие для второго члена прогрессии: \[ a_2 = a_1 + d \] Подставим значение произведения: \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \]
5. Используем условие для третьего и пятого членов прогрессии: \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_5 = a_1 + 4d \] Подставим значение их суммы: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 32 \]
6. Решим систему уравнений:
   1. \[ \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) = 112 \]
   2. \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \]
   3. \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 32 \]
7. Упростим третье уравнение: \[ 2a_1 + 6d = 32 \] \[ a_1 + 3d = 16 \]
8. Подставим \(a_1 + 3d = 16\) во второе уравнение: \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \] \[ a_1 + d = \frac{30}{d} \]
9. Подставим \(a_1 + d = \frac{30}{d}\) в упрощенное третье уравнение: \[ \frac{30}{d} + 2d = 16 \] \[ 30 + 2d^2 = 16d \] \[ 2d^2 - 16d + 30 = 0 \] \[ d^2 - 8d + 15 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение: \[ d = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} \] \[ d = \frac{8 \pm 2}{2} \] \[ d = 5 \quad \text{или} \quad d = 3 \]
11. Для \(d = 5\): \[ a_1 + 5 = \frac{30}{5} \] \[ a_1 = 1 \] Подставим \(a_1\) и \(d\) в первое уравнение: \[ \frac{n}{2} (2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 5) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (2 + 5n - 5) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (5n - 3) = 112 \] \[ 5n^2 - 3n = 224 \] \[ 5n^2 - 3n - 224 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4480}}{10} \] \[ n = \frac{3 \pm 67}{10} \] \[ n = 7 \quad \text{или} \quad n = -6.4 \quad (\text{не подходит}) \]
12. Для \(d = 3\): \[ a_1 + 3 = \frac{30}{3} \] \[ a_1 = 7 \] Подставим \(a_1\) и \(d\) в первое уравнение: \[ \frac{n}{2} (2 \cdot 7 + (n-1) \cdot 3) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (14 + 3n - 3) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (3n + 11) = 112 \] \[ 3n^2 + 11n = 224 \] \[ 3n^2 + 11n - 224 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ n = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 2688}}{6} \] \[ n = \frac{-11 \pm 53}{6} \] \[ n = 7 \quad \text{или} \quad n = -10.5 \quad (\text{не подходит}) \]
13. Таким образом, \(n = 7\), \(d = 5\), \(a_1 = 1\).
14. Напишем три первых члена прогрессии: \[ a_1 = 1 \] \[ a_2 = a_1 + d = 1 + 5 = 6 \] \[ a_3 = a_1 + 2d = 1 + 10 = 11 \]

Таким образом, число членов арифметической прогрессии равно 7, а три первых члена прогрессии: 1, 6, 11.