Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Известно. что в некоторую арифметическую прогрессию входят члены \(a_{2n}\) и \(a_{2m}\) такие, что \(\frac{a_{2n}}{a_{2m}}=-1\). Имеется ли член этой прогрессии, равный нулю? Если да, то каков номер этого члена?

Ответ

n+m

Решение № 17486:

Для решения задачи о наличии члена арифметической прогрессии, равного нулю, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ \frac{a_{2n}}{a_{2m}} = -1 \] Это означает, что \(a_{2n} = -a_{2m}\).
2. Выразим члены арифметической прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d \] \[ a_{2m} = a_1 + (2m - 1)d \]
3. Подставим эти выражения в условие задачи: \[ a_1 + (2n - 1)d = -(a_1 + (2m - 1)d) \]
4. Упростим уравнение: \[ a_1 + (2n - 1)d = -a_1 - (2m - 1)d \] \[ 2a_1 + (2n - 1)d + (2m - 1)d = 0 \] \[ 2a_1 + (2n + 2m - 2)d = 0 \] \[ 2a_1 + 2(n + m - 1)d = 0 \] \[ a_1 + (n + m - 1)d = 0 \]
5. Рассмотрим это уравнение как член арифметической прогрессии: \[ a_{n + m} = a_1 + (n + m - 1)d \] Следовательно, \[ a_{n + m} = 0 \]

Таким образом, член арифметической прогрессии, равный нулю, существует. Номер этого члена равен \(n + m\). Ответ: \(n + m\)