Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна \(\frac{14}{9}\). Найти эти числа.

Ответ

\frac{1}{2};\frac{2}{3};1

Решение № 17475:

Для решения задачи найдем три числа, образующие арифметическую прогрессию, при условиях, что их сумма равна 2, а сумма их квадратов равна \(\frac{14}{9}\).

1. Пусть три числа арифметической прогрессии будут \(a-d\), \(a\) и \(a+d\).
2. Сумма этих чисел равна 2: \[ (a-d) + a + (a+d) = 2 \] Упростим выражение: \[ 3a = 2 \] Решим уравнение: \[ a = \frac{2}{3} \]
3. Сумма квадратов этих чисел равна \(\frac{14}{9}\): \[ (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = \frac{14}{9} \] Подставим \(a = \frac{2}{3}\): \[ \left(\frac{2}{3} - d\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3} + d\right)^2 = \frac{14}{9} \]
4. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ \left(\frac{2}{3} - d\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot d + d^2 = \frac{4}{9} - \frac{4d}{3} + d^2 \] \[ \left(\frac{2}{3} + d\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot d + d^2 = \frac{4}{9} + \frac{4d}{3} + d^2 \] \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] Подставим все выражения: \[ \left(\frac{4}{9} - \frac{4d}{3} + d^2\right) + \frac{4}{9} + \left(\frac{4}{9} + \frac{4d}{3} + d^2\right) = \frac{14}{9} \] Упростим: \[ \frac{4}{9} - \frac{4d}{3} + d^2 + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4d}{3} + d^2 = \frac{14}{9} \] \[ 2d^2 + \frac{12}{9} = \frac{14}{9} \] \[ 2d^2 = \frac{2}{9} \] \[ d^2 = \frac{1}{9} \] \[ d = \pm \frac{1}{3} \]
5. Подставим значения \(a\) и \(d\) в выражения для чисел: \[ a = \frac{2}{3}, \quad d = \frac{1}{3} \] Тогда числа будут: \[ a-d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] \[ a = \frac{2}{3} \] \[ a+d = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \] Таким образом, числа: \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), \(1\).
6. Проверим второй вариант для \(d = -\frac{1}{3}\): \[ a = \frac{2}{3}, \quad d = -\frac{1}{3} \] Тогда числа будут: \[ a-d = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \] \[ a = \frac{2}{3} \] \[ a+d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] Таким образом, числа: \(1\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{3}\).

Ответ: Числа \( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \) или \( 1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \).