Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен \(120^{\circ}\), образуют арифметическую прогрессию с разностью \(5^{\circ}\). Определить число сторон этого многоугольника.

Ответ

9

Решение № 17482:

Для решения задачи определим число сторон выпуклого многоугольника, внутренние углы которого образуют арифметическую прогрессию с разностью \(5^\circ\) и наименьшим углом \(120^\circ\).

1. Пусть \(n\) — число сторон многоугольника.
2. Сумма внутренних углов многоугольника с \(n\) сторонами равна \(180(n-2)\) градусов.
3. Пусть \(a_1 = 120^\circ\) — наименьший угол, а \(d = 5^\circ\) — разность арифметической прогрессии.
4. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\) равна: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]
5. Подставим известные значения \(a_1 = 120^\circ\) и \(d = 5^\circ\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 120 + (n-1) \cdot 5\right) \]
6. Упростим выражение: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(240 + 5n - 5\right) = \frac{n}{2} \left(235 + 5n\right) \]
7. Приравняем сумму внутренних углов многоугольника к сумме членов арифметической прогрессии: \[ 180(n-2) = \frac{n}{2} \left(235 + 5n\right) \]
8. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 360(n-2) = n(235 + 5n) \]
9. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 360n - 720 = 235n + 5n^2 \]
10. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ 5n^2 + 235n - 360n + 720 = 0 \]
11. Упростим уравнение: \[ 5n^2 - 125n + 720 = 0 \]
12. Разделим все члены уравнения на 5: \[ n^2 - 25n + 144 = 0 \]
13. Решим квадратное уравнение \(n^2 - 25n + 144 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -25\) и \(c = 144\): \[ n = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2} \]
14. Найдем корни уравнения: \[ n = \frac{25 + 7}{2} = 16 \quad \text{и} \quad n = \frac{25 - 7}{2} = 9 \]
15. Поскольку многоугольник выпуклый, наименьший угол должен быть меньше \(180^\circ\). Проверим оба значения \(n\):
    • Для \(n = 16\): \[ a_{16} = 120 + 15 \cdot 5 = 120 + 75 = 195^\circ \] Это невозможно, так как угол превышает \(180^\circ\).
    • Для \(n = 9\): \[ a_{9} = 120 + 8 \cdot 5 = 120 + 40 = 160^\circ \] Это возможно, так как все углы меньше \(180^\circ\).
16. Таким образом, число сторон многоугольника равно 9.

Ответ: 9