Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти три первых члена \(a_{1},a_{2},a_{3}\) из арифметической прогрессии, если известно, что \(a_{1}+a_{2}+a_{3}=-12\) и \(a_{1}a_{2}a_{3}=80\).

Ответ

{2;-1;-4, -10;-7;-4}

Решение № 17472:

Для решения задачи найти три первых члена \(a_1, a_2, a_3\) арифметической прогрессии, если известно, что \(a_1 + a_2 + a_3 = -12\) и \(a_1 a_2 a_3 = 80\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнения: \[ a_1 + a_2 + a_3 = -12 \] \[ a_1 a_2 a_3 = 80 \]
2. Введем обозначение для разности прогрессии \(d\): \[ a_2 = a_1 + d \] \[ a_3 = a_1 + 2d \]
3. Подставим \(a_2\) и \(a_3\) в первое уравнение: \[ a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = -12 \] \[ 3a_1 + 3d = -12 \]
4. Разделим обе части уравнения на 3: \[ a_1 + d = -4 \]
5. Подставим \(a_2\) и \(a_3\) во второе уравнение: \[ a_1 (a_1 + d) (a_1 + 2d) = 80 \]
6. Выразим \(d\) через \(a_1\) из уравнения \(a_1 + d = -4\): \[ d = -4 - a_1 \]
7. Подставим \(d\) в уравнение \(a_1 (a_1 + d) (a_1 + 2d) = 80\): \[ a_1 (a_1 + (-4 - a_1)) (a_1 + 2(-4 - a_1)) = 80 \] \[ a_1 (-4) (a_1 - 8 - 2a_1) = 80 \] \[ a_1 (-4) (-a_1 - 8) = 80 \] \[ 4a_1 (a_1 + 8) = 80 \]
8. Разделим обе части уравнения на 4: \[ a_1 (a_1 + 8) = 20 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ a_1^2 + 8a_1 - 20 = 0 \] Решим его с помощью формулы квадратного уравнения \(a_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ a_1 = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} \] \[ a_1 = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ a_1 = \frac{-8 \pm 12}{2} \] \[ a_1 = 2 \quad \text{или} \quad a_1 = -10 \]
10. Найдем соответствующие значения \(a_2\) и \(a_3\) для каждого \(a_1\):
    • Для \(a_1 = 2\): \[ d = -4 - 2 = -6 \] \[ a_2 = 2 + (-6) = -4 \] \[ a_3 = 2 + 2(-6) = -10 \]
    • Для \(a_1 = -10\): \[ d = -4 - (-10) = 6 \] \[ a_2 = -10 + 6 = -4 \] \[ a_3 = -10 + 2(6) = 2 \]
11. Таким образом, решениями являются: \[ (a_1, a_2, a_3) = (2, -4, -10) \quad \text{или} \quad (a_1, a_2, a_3) = (-10, -4, 2) \]

Ответ: \(a_1 = 2, a_2 = -4, a_3 = -10\) или \(a_1 = -10, a_2 = -4, a_3 = 2\).