Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получатся 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

Ответ

{3; 4}

Решение № 17474:

Для решения задачи определим обозначения: - \( a_1 \) — первый член арифметической прогрессии. - \( d \) — разность прогрессии. Используем формулу \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

1. Запишем условия задачи: \[ \frac{a_9}{a_2} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{a_{13}}{a_6} = 2 \]
2. Выразим \( a_9 \) и \( a_2 \) через \( a_1 \) и \( d \): \[ a_9 = a_1 + 8d \quad \text{и} \quad a_2 = a_1 + d \]
3. Подставим эти выражения в первое условие: \[ \frac{a_1 + 8d}{a_1 + d} = 5 \]
4. Умножим обе части уравнения на \( a_1 + d \): \[ a_1 + 8d = 5(a_1 + d) \]
5. Раскроем скобки и упростим: \[ a_1 + 8d = 5a_1 + 5d \] \[ 8d - 5d = 5a_1 - a_1 \] \[ 3d = 4a_1 \]
6. Выразим \( a_{13} \) и \( a_6 \) через \( a_1 \) и \( d \): \[ a_{13} = a_1 + 12d \quad \text{и} \quad a_6 = a_1 + 5d \]
7. Подставим эти выражения во второе условие: \[ \frac{a_1 + 12d}{a_1 + 5d} = 2 \]
8. Умножим обе части уравнения на \( a_1 + 5d \): \[ a_1 + 12d = 2(a_1 + 5d) \]
9. Раскроем скобки и упростим: \[ a_1 + 12d = 2a_1 + 10d \] \[ 12d - 10d = 2a_1 - a_1 \] \[ 2d = a_1 \]
10. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} 3d = 4a_1 \\ 2d = a_1 \end{cases} \]
11. Подставим \( a_1 \) из второго уравнения в первое: \[ 3d = 4(2d) \] \[ 3d = 8d \] \[ 3 = 8 \]
12. Это невозможно, значит, мы допустили ошибку. Вернемся к системе уравнений: \[ \begin{cases} 3d = 4a_1 \\ 2d = a_1 \end{cases} \]
13. Выразим \( d \) из второго уравнения: \[ d = \frac{a_1}{2} \]
14. Подставим \( d \) в первое уравнение: \[ 3 \left( \frac{a_1}{2} \right) = 4a_1 \] \[ \frac{3a_1}{2} = 4a_1 \] \[ 3a_1 = 8a_1 \] \[ 3 = 8 \]
15. Опять получили невозможное уравнение. Перепроверим вычисления. Возможно, ошибка в исходных условиях или в интерпретации условий.

Таким образом, проблема в исходных условиях или в интерпретации задачи. Перепроверьте условия задачи или исходные данные.