Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении. девятого члена этой прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член и разность прогрессии.

Ответ

4;5

Решение № 17483:

Для решения задачи определим первый член \(a_1\) и разность \(d\) арифметической прогрессии.

1. Запишем уравнение для произведения третьего и шестого членов: \[ a_3 \cdot a_6 = 406 \] Зная, что \(a_n = a_1 + (n-1)d\), получим: \[ a_3 = a_1 + 2d \] и \[ a_6 = a_1 + 5d \] Подставим эти выражения в уравнение: \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 5d) = 406 \]
2. Запишем уравнение для деления девятого члена на четвертый член: \[ \frac{a_9}{a_4} = 2 + \frac{6}{a_4} \] Зная, что \(a_9 = a_1 + 8d\) и \(a_4 = a_1 + 3d\), получим: \[ \frac{a_1 + 8d}{a_1 + 3d} = 2 + \frac{6}{a_1 + 3d} \] Умножим обе части уравнения на \(a_1 + 3d\): \[ a_1 + 8d = 2(a_1 + 3d) + 6 \] Упростим уравнение: \[ a_1 + 8d = 2a_1 + 6d + 6 \] Перенесем все члены с \(a_1\) и \(d\) на одну сторону: \[ a_1 + 8d - 2a_1 - 6d = 6 \] Упростим: \[ -a_1 + 2d = 6 \] или \[ a_1 - 2d = -6 \]
3. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} (a_1 + 2d)(a_1 + 5d) = 406 \\ a_1 - 2d = -6 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(a_1\): \[ a_1 = 2d - 6 \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ (2d - 6 + 2d)(2d - 6 + 5d) = 406 \] Упростим: \[ (4d - 6)(7d - 6) = 406 \] Раскроем скобки: \[ 28d^2 - 42d + 36 = 406 \] Перенесем все члены на одну сторону: \[ 28d^2 - 42d + 36 - 406 = 0 \] Упростим: \[ 28d^2 - 42d - 370 = 0 \] Решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 28 \cdot (-370) \] \[ \Delta = 1764 + 41360 = 43124 \] Найдем корни уравнения: \[ d = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{42 \pm \sqrt{43124}}{56} \] \[ d = \frac{42 \pm 207.65}{56} \] Найдем два значения \(d\): \[ d_1 = \frac{42 + 207.65}{56} \approx 4.42 \] \[ d_2 = \frac{42 - 207.65}{56} \approx -3.00 \]
4. Подставим значения \(d\) обратно в уравнение \(a_1 = 2d - 6\): Для \(d_1 \approx 4.42\): \[ a_1 = 2 \cdot 4.42 - 6 \approx 2.84 \] Для \(d_2 \approx -3.00\): \[ a_1 = 2 \cdot (-3) - 6 = -12 \]

Таким образом, решениями задачи являются пары \((a_1, d)\): \[ (a_1, d) \approx (2.84, 4.42) \quad \text{и} \quad (a_1, d) = (-12, -3) \] Ответ: \((a_1, d) \approx (2.84, 4.42)\) и \((a_1, d) = (-12, -3)\)