Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна \(\frac{5}{3}\), произведение третьего и четвертого ее членов равно \(\frac{65}{72}\). Найти сумму 17 первых членов прогрессии.

Ответ

\frac{119}{3}

Решение № 17471:

Для решения задачи найдем сумму первых 17 членов арифметической прогрессии, зная сумму первого и пятого членов, а также произведение третьего и четвертого членов.

1. Запишем условия задачи: \[ a_1 + a_5 = \frac{5}{3} \] \[ a_3 \cdot a_4 = \frac{65}{72} \]
2. Выразим \(a_5\), \(a_3\) и \(a_4\) через \(a_1\) и \(d\) (разность арифметической прогрессии): \[ a_5 = a_1 + 4d \] \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_4 = a_1 + 3d \]
3. Подставим выражения для \(a_5\), \(a_3\) и \(a_4\) в условия задачи: \[ a_1 + (a_1 + 4d) = \frac{5}{3} \] \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 3d) = \frac{65}{72} \]
4. Упростим первое уравнение: \[ 2a_1 + 4d = \frac{5}{3} \] Разделим обе части на 2: \[ a_1 + 2d = \frac{5}{6} \]
5. Упростим второе уравнение: \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 3d) = \frac{65}{72} \] Подставим \(a_1 + 2d = \frac{5}{6}\) из предыдущего шага: \[ \left(\frac{5}{6}\right)(a_1 + 3d) = \frac{65}{72} \] Разделим обе части на \(\frac{5}{6}\): \[ a_1 + 3d = \frac{65}{72} \cdot \frac{6}{5} = \frac{13}{12} \]
6. Теперь у нас есть система уравнений: \[ a_1 + 2d = \frac{5}{6} \] \[ a_1 + 3d = \frac{13}{12} \]
7. Вычтем первое уравнение из второго: \[ (a_1 + 3d) - (a_1 + 2d) = \frac{13}{12} - \frac{5}{6} \] Упростим: \[ d = \frac{13}{12} - \frac{10}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
8. Подставим \(d = \frac{1}{4}\) в уравнение \(a_1 + 2d = \frac{5}{6}\): \[ a_1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{6} \] Упростим: \[ a_1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \] \[ a_1 = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{3} \]
9. Теперь найдем сумму первых 17 членов арифметической прогрессии: \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(2a_1 + (17-1)d\right) \] Подставим \(a_1 = \frac{1}{3}\) и \(d = \frac{1}{4}\): \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(2 \cdot \frac{1}{3} + 16 \cdot \frac{1}{4}\right) \] Упростим: \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(\frac{2}{3} + 4\right) \] \[ S_{17} = \frac{17}{2} \left(\frac{2}{3} + \frac{12}{3}\right) \] \[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot \frac{14}{3} \] \[ S_{17} = \frac{17 \cdot 14}{6} = \frac{238}{6} = \frac{119}{3} \]

Таким образом, сумма первых 17 членов арифметической прогрессии равна \(\frac{119}{3}\). Ответ: \(\frac{119}{3}\)