Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

При делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на третий член в частном получается 3, а при делении восемнадцатого члена на седьмой член в частном получается 2 и в остатке 8. Определить разность и первый член прогрессии.

Ответ

4;12

Решение № 17485:

Для решения задачи определим первый член и разность арифметической прогрессии, используя условия задачи.

1. Запишем условия задачи: \[ \frac{a_{13}}{a_3} = 3 \] \[ \frac{a_{18}}{a_7} = 2 \quad \text{с остатком} \quad 8 \]
2. Выразим члены арифметической прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ a_{13} = a_1 + 12d \] \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_{18} = a_1 + 17d \] \[ a_7 = a_1 + 6d \]
3. Подставим выражения для членов прогрессии в первое условие: \[ \frac{a_1 + 12d}{a_1 + 2d} = 3 \]
4. Развернем уравнение и упростим: \[ a_1 + 12d = 3(a_1 + 2d) \] \[ a_1 + 12d = 3a_1 + 6d \] \[ 12d - 6d = 3a_1 - a_1 \] \[ 6d = 2a_1 \] \[ 3d = a_1 \]
5. Подставим выражения для членов прогрессии во второе условие: \[ a_1 + 17d = 2(a_1 + 6d) + 8 \]
6. Развернем уравнение и упростим: \[ a_1 + 17d = 2a_1 + 12d + 8 \] \[ a_1 + 17d = 2a_1 + 12d + 8 \] \[ 17d - 12d = 2a_1 - a_1 + 8 \] \[ 5d = a_1 + 8 \]
7. Подставим \(a_1 = 3d\) в уравнение: \[ 5d = 3d + 8 \] \[ 2d = 8 \] \[ d = 4 \]
8. Найдем \(a_1\): \[ a_1 = 3d = 3 \cdot 4 = 12 \]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии \(a_1 = 12\), а разность \(d = 4\). Ответ: \(a_1 = 12\), \(d = 4\).