Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Сумма третьего девятого членов арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно \(\frac{135}{16}\). Найти сумму 15 первых членов прогрессии.

Ответ

{37,5, 52,5}

Решение № 17481:

Для решения задачи о сумме первых 15 членов арифметической прогрессии, где сумма третьего и девятого членов равна 6, а их произведение равно \(\frac{135}{16}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ a_3 + a_9 = 6 \] \[ a_3 \cdot a_9 = \frac{135}{16} \]
2. Выразим \(a_3\) и \(a_9\) через первый член \(a_1\) и разность \(d\): \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_9 = a_1 + 8d \]
3. Подставим \(a_3\) и \(a_9\) в условие суммы: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 6 \] \[ 2a_1 + 10d = 6 \]
4. Подставим \(a_3\) и \(a_9\) в условие произведения: \[ (a_1 + 2d)(a_1 + 8d) = \frac{135}{16} \]
5. Раскроем скобки в уравнении произведения: \[ a_1^2 + 10a_1d + 16d^2 = \frac{135}{16} \]
6. Умножим обе части уравнения на 16, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 16a_1^2 + 160a_1d + 256d^2 = 135 \]
7. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2a_1 + 10d = 6 \\ 16a_1^2 + 160a_1d + 256d^2 = 135 \end{cases} \]
8. Из первого уравнения выразим \(a_1\): \[ a_1 = 3 - 5d \]
9. Подставим \(a_1\) во второе уравнение: \[ 16(3 - 5d)^2 + 160(3 - 5d)d + 256d^2 = 135 \]
10. Раскроем скобки и упростим: \[ 16(9 - 30d + 25d^2) + 160(3d - 5d^2) + 256d^2 = 135 \] \[ 144 - 480d + 400d^2 + 480d - 800d^2 + 256d^2 = 135 \] \[ 144 - 144d^2 = 135 \] \[ -144d^2 = -9 \] \[ d^2 = \frac{9}{144} \] \[ d = \pm \frac{1}{4} \]
11. Подставим \(d\) обратно в уравнение для \(a_1\): \[ a_1 = 3 - 5 \left(\frac{1}{4}\right) = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{4} \] или \[ a_1 = 3 - 5 \left(-\frac{1}{4}\right) = 3 + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} + \frac{5}{4} = \frac{17}{4} \]
12. Проверим оба варианта для \(a_1\) и \(d\): \[ a_1 = \frac{7}{4}, d = \frac{1}{4} \] \[ a_3 = \frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + \frac{2}{4} = \frac{9}{4} \] \[ a_9 = \frac{7}{4} + 8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + 2 = \frac{15}{4} \] \[ a_3 + a_9 = \frac{9}{4} + \frac{15}{4} = \frac{24}{4} = 6 \] \[ a_3 \cdot a_9 = \frac{9}{4} \cdot \frac{15}{4} = \frac{135}{16} \]
13. Теперь найдем сумму первых 15 членов прогрессии: \[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a_1 + (15-1)d) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \left(2 \cdot \frac{7}{4} + 14 \cdot \frac{1}{4}\right) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \left(\frac{14}{4} + \frac{14}{4}\right) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot \frac{28}{4} \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 7 \] \[ S_{15} = \frac{105}{2} \] \[ S_{15} = 52.5 \]

Таким образом, сумма первых 15 членов арифметической прогрессии равна 52.5. Ответ: 52.5