Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти три первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.

Ответ

3;9;15

Решение № 17484:

Для решения задачи найдем три первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.

1. Пусть \(a_1\) — первый член арифметической прогрессии, \(d\) — её разность.
2. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии выражается формулой: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]
3. По условию задачи, сумма первых \(n\) членов равна утроенному квадрату этого числа: \[ S_n = 3n^2 \]
4. Приравняем выражение для суммы к утроенному квадрату: \[ \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 3n^2 \]
5. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \[ n \left(2a_1 + (n-1)d\right) = 6n^2 \]
6. Разделим обе части уравнения на \(n\) (при \(n \neq 0\)): \[ 2a_1 + (n-1)d = 6n \]
7. Подставим \(n = 1\) и \(n = 2\) для нахождения \(a_1\) и \(d\):
   • Для \(n = 1\): \[ 2a_1 = 6 \implies a_1 = 3 \]
   • Для \(n = 2\): \[ 2a_1 + d = 12 \implies 2 \cdot 3 + d = 12 \implies d = 6 \]
8. Теперь найдем первые три члена арифметической прогрессии:
   • Первый член: \[ a_1 = 3 \]
   • Второй член: \[ a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9 \]
   • Третий член: \[ a_3 = a_2 + d = 9 + 6 = 15 \]

Таким образом, первые три члена арифметической прогрессии равны 3, 9 и 15. Ответ: 3, 9, 15