Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов прогрессии.

Ответ

44

Решение № 17476:

Для решения задачи о сумме третьего и девятого членов арифметической прогрессии, равной 8, и нахождения суммы 11 первых членов прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Обозначим первый член арифметической прогрессии как \(a_1\) и разность прогрессии как \(d\).
2. Выразим третий член прогрессии \(a_3\): \[ a_3 = a_1 + 2d \]
3. Выразим девятый член прогрессии \(a_9\): \[ a_9 = a_1 + 8d \]
4. Запишем уравнение для суммы третьего и девятого членов: \[ a_3 + a_9 = 8 \]
5. Подставим выражения для \(a_3\) и \(a_9\) в уравнение: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 8 \]
6. Упростим уравнение: \[ 2a_1 + 10d = 8 \]
7. Решим уравнение для нахождения \(a_1\) и \(d\): \[ 2a_1 + 10d = 8 \implies a_1 + 5d = 4 \]
8. Теперь найдем сумму первых 11 членов арифметической прогрессии \(S_{11}\). Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \]
9. Подставим \(n = 11\): \[ S_{11} = \frac{11}{2} (2a_1 + 10d) \]
10. Используем уравнение \(2a_1 + 10d = 8\): \[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 4 = 44 \]

Таким образом, сумма первых 11 членов арифметической прогрессии равна 44. Ответ: 44