Решение №49433: Для решения задачи Число \(m\) кратно 6. Докажите, что \((m^2 - 4m) \vdots 12\) выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ m \vdots 6 \] Это означает, что \(m\) можно представить в виде: \[ m = 6k \quad \text{для некоторого целого числа } k. \]
2. Подставим \(m = 6k\) в выражение \(m^2 - 4m\): \[ m^2 - 4m = (6k)^2 - 4(6k) \]
3. Выполним вычисления: \[ (6k)^2 - 4(6k) = 36k^2 - 24k \]
4. Вынесем общий множитель 12: \[ 36k^2 - 24k = 12(3k^2 - 2k) \]
5. Так как \(12(3k^2 - 2k)\) делится на 12, то: \[ m^2 - 4m \vdots 12 \]

Ответ: NaN

Решение №49434: Для доказательства того, что \((n^2 + 8n) \vdots 16\), если \(n\) кратно 4, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие: \(n\) кратно 4. Это означает, что \(n = 4k\) для некоторого целого числа \(k\).
2. Подставим \(n = 4k\) в выражение \(n^2 + 8n\): \[ n^2 + 8n = (4k)^2 + 8(4k) \]
3. Упростим выражение: \[ (4k)^2 + 8(4k) = 16k^2 + 32k \]
4. Вынесем общий множитель 16: \[ 16k^2 + 32k = 16(k^2 + 2k) \]
5. Так как \(k^2 + 2k\) — это целое число, то \(16(k^2 + 2k)\) делится на 16.
6. Следовательно, \(n^2 + 8n\) делится на 16.

Ответ: NaN

Решение №49435: Для доказательства того, что если \(a \vdots c\) и \((a + b) \vdots c\), то \(b \vdots c\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ a \vdots c \quad \text{и} \quad (a + b) \vdots c \]
2. Из условия \(a \vdots c\) следует, что существует такое целое число \(k\), что: \[ a = k \cdot c \]
3. Из условия \((a + b) \vdots c\) следует, что существует такое целое число \(m\), что: \[ a + b = m \cdot c \]
4. Подставим выражение для \(a\) из шага 2 в уравнение из шага 3: \[ k \cdot c + b = m \cdot c \]
5. Вычтем \(k \cdot c\) из обеих частей уравнения: \[ b = m \cdot c - k \cdot c \]
6. Вынесем \(c\) за скобки: \[ b = (m - k) \cdot c \]
7. Так как \(m\) и \(k\) — целые числа, то \(m - k\) также является целым числом. Следовательно, \(b\) делится на \(c\): \[ b \vdots c \]

Ответ: NaN

Решение №49436: Для решения задачи Докажите, что число \(a - b\) также кратно 13 выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ a + 3 \text{ кратно } 13 \quad \text{и} \quad b + 29 \text{ кратно } 13 \]
2. Представим эти условия в виде уравнений: \[ a + 3 = 13k \quad \text{и} \quad b + 29 = 13m \] где \(k\) и \(m\) — некоторые целые числа.
3. Выразим \(a\) и \(b\) из этих уравнений: \[ a = 13k - 3 \quad \text{и} \quad b = 13m - 29 \]
4. Найдем разность \(a - b\): \[ a - b = (13k - 3) - (13m - 29) \]
5. Упростим выражение: \[ a - b = 13k - 3 - 13m + 29 \]
6. Объединим слагаемые: \[ a - b = 13k - 13m + 26 \]
7. Вынесем общий множитель: \[ a - b = 13(k - m + 2) \]
8. Поскольку \(k - m + 2\) — целое число, \(a - b\) кратно 13.

Ответ: NaN

Решение №49437: Для решения задачи Числа \(m\) и \(n\) таковы, что каждое из чисел \(m + 5\) и \(39 - n\) кратно 17. Докажите, что число \(m + n\) также кратно 17 выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ m + 5 \text{ кратно 17} \] \[ 39 - n \text{ кратно 17} \]
2. Представим эти условия в виде уравнений: \[ m + 5 = 17k \quad \text{для некоторого целого числа } k \] \[ 39 - n = 17l \quad \text{для некоторого целого числа } l \]
3. Выразим \(m\) и \(n\) из этих уравнений: \[ m = 17k - 5 \] \[ n = 39 - 17l \]
4. Сложим \(m\) и \(n\): \[ m + n = (17k - 5) + (39 - 17l) \]
5. Упростим выражение: \[ m + n = 17k - 5 + 39 - 17l \] \[ m + n = 17k - 17l + 34 \] \[ m + n = 17(k - l + 2) \]
6. Поскольку \(k\), \(l\) и 2 — целые числа, \(k - l + 2\) также целое число. Обозначим его \(p\): \[ m + n = 17p \]
7. Таким образом, \(m + n\) кратно 17.

Ответ: NaN

Решение №49438: Для доказательства того, что \(bm \vdots (a + b)\), если \(am \vdots (a + b)\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ am \vdots (a + b) \] Это означает, что \(am\) делится на \(a + b\).
2. Представим \(am\) в виде: \[ am = k(a + b) \] где \(k\) — некоторое целое число.
3. Выразим \(bm\) через \(am\) и \(m\): \[ bm = am + (b - a)m \]
4. Подставим \(am\) из предыдущего шага: \[ bm = k(a + b) + (b - a)m \]
5. Рассмотрим выражение \((b - a)m\): \[ (b - a)m = bm - am \]
6. Подставим это выражение обратно: \[ bm = k(a + b) + bm - am \]
7. Упростим выражение: \[ bm = k(a + b) + bm - k(a + b) \] \[ bm = bm \]
8. Таким образом, \(bm\) можно представить в виде: \[ bm = k(a + b) + (b - a)m \] где \(k\) — целое число, а \((b - a)m\) также делится на \(a + b\), так как \(am \vdots (a + b)\).
9. Следовательно, \(bm \vdots (a + b)\).

Ответ: NaN

Решение №49439: Для доказательства того, что $xu \vdots (z - y)$, если $xz \vdots (z - y)$, выполним следующие шаги:

1. Запишем исходное условие: \[ xz \vdots (z - y) \] Это означает, что существует такое целое число \(k\), что: \[ xz = k(z - y) \]
2. Перепишем уравнение: \[ xz = kz - ky \]
3. Перенесем \(kz\) в левую часть уравнения: \[ xz - kz = -ky \]
4. Вынесем \(z\) за скобки в левой части уравнения: \[ z(x - k) = -ky \]
5. Разделим обе части уравнения на \(z\) (предполагая, что \(z \neq 0\)): \[ x - k = -\frac{ky}{z} \]
6. Умножим обе части уравнения на \(u\): \[ u(x - k) = -\frac{kyu}{z} \]
7. Раскроем скобки в левой части уравнения: \[ xu - ku = -\frac{kyu}{z} \]
8. Перепишем уравнение: \[ xu - ku = -\frac{kyu}{z} \] Это означает, что: \[ xu = ku - \frac{kyu}{z} \]
9. Поскольку \(ku\) и \(\frac{kyu}{z}\) делятся на \(z - y\), то и \(xu\) делится на \(z - y\): \[ xu \vdots (z - y) \]

Ответ: NaN

Решение №49440: Для решения задачи, где числа \(m\), \(n\) и \(k\) таковы, что \((m - n) \vdots k\) и \(mn \vdots k\), нужно доказать, что \((m^3 + n^3) \vdots k\). Выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ (m - n) \vdots k \quad \text{и} \quad mn \vdots k \]
2. Выразим \(m^3 + n^3\) через \(m\) и \(n\): \[ m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2) \]
3. Рассмотрим выражение \(m^2 - mn + n^2\): \[ m^2 - mn + n^2 = (m - n)^2 + mn \]
4. Заметим, что \((m - n)^2 \vdots k\), так как \(m - n \vdots k\): \[ (m - n)^2 \vdots k \]
5. Так как \(mn \vdots k\), то и \((m - n)^2 + mn \vdots k\): \[ (m - n)^2 + mn \vdots k \]
6. Теперь подставим это в выражение для \(m^3 + n^3\): \[ m^3 + n^3 = (m + n)((m - n)^2 + mn) \]
7. Поскольку \((m + n) \vdots k\) и \((m - n)^2 + mn \vdots k\), то и произведение \((m + n)((m - n)^2 + mn) \vdots k\): \[ (m + n)((m - n)^2 + mn) \vdots k \]
8. Следовательно, \(m^3 + n^3 \vdots k\): \[ m^3 + n^3 \vdots k \]

Ответ: NaN

Решение №49441: Для решения уравнения \(9x^2 - y^2 = 6\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 9x^2 - y^2 = 6 \]
2. Перепишем уравнение в виде разности квадратов: \[ (3x)^2 - y^2 = 6 \]
3. Используем формулу разности квадратов: \[ (3x - y)(3x + y) = 6 \]
4. Рассмотрим все возможные пары целых чисел \((a, b)\), такие что \(a \cdot b = 6\). Эти пары: \[ (1, 6), (6, 1), (-1, -6), (-6, -1), (2, 3), (3, 2), (-2, -3), (-3, -2) \]
5. Проверим каждую пару на соответствие системе уравнений: \[ 3x - y = a \quad \text{и} \quad 3x + y = b \]
6. Рассмотрим пару \((1, 6)\): \[ 3x - y = 1 \quad \text{и} \quad 3x + y = 6 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 1 + 6 \] \[ 6x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
7. Рассмотрим пару \((6, 1)\): \[ 3x - y = 6 \quad \text{и} \quad 3x + y = 1 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 6 + 1 \] \[ 6x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
8. Рассмотрим пару \((2, 3)\): \[ 3x - y = 2 \quad \text{и} \quad 3x + y = 3 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 2 + 3 \] \[ 6x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
9. Рассмотрим пару \((3, 2)\): \[ 3x - y = 3 \quad \text{и} \quad 3x + y = 2 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 3 + 2 \] \[ 6x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
10. Рассмотрим пару \((-1, -6)\): \[ 3x - y = -1 \quad \text{и} \quad 3x + y = -6 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -1 + (-6) \] \[ 6x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
11. Рассмотрим пару \((-6, -1)\): \[ 3x - y = -6 \quad \text{и} \quad 3x + y = -1 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -6 + (-1) \] \[ 6x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
12. Рассмотрим пару \((-2, -3)\): \[ 3x - y = -2 \quad \text{и} \quad 3x + y = -3 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -2 + (-3) \] \[ 6x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
13. Рассмотрим пару \((-3, -2)\): \[ 3x - y = -3 \quad \text{и} \quad 3x + y = -2 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -3 + (-2) \] \[ 6x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
14. Так как ни одна из пар не дает целых решений для \(x\), уравнение \(9x^2 - y^2 = 6\) не имеет решений в целых числах.

Ответ: Решений нет

Решение №49442: Для решения уравнения \(x^2 + 2xy = 2x + 9\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 + 2xy = 2x + 9 \]
2. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 2xy - 2x - 9 = 0 \]
3. Вынесем \(x\) за скобки в членах с \(x\): \[ x(x + 2y - 2) = 9 \]
4. Рассмотрим возможные значения \(x\), которые являются делителями числа 9. Такими значениями могут быть \(\pm 1, \pm 3, \pm 9\).
5. Подставим каждое значение \(x\) в уравнение и решим его относительно \(y\):
   • Для \(x = 1\): \[ 1(1 + 2y - 2) = 9 \implies 1 + 2y - 2 = 9 \implies 2y - 1 = 9 \implies 2y = 10 \implies y = 5 \]
   • Для \(x = -1\): \[ -1(-1 + 2y - 2) = 9 \implies -1 - 2y + 2 = 9 \implies -2y + 1 = 9 \implies -2y = 8 \implies y = -4 \]
   • Для \(x = 3\): \[ 3(3 + 2y - 2) = 9 \implies 3 + 2y - 2 = 3 \implies 2y + 1 = 3 \implies 2y = 2 \implies y = 1 \]
   • Для \(x = -3\): \[ -3(-3 + 2y - 2) = 9 \implies -3 - 2y + 2 = -3 \implies -2y - 1 = -3 \implies -2y = -2 \implies y = 1 \]
   • Для \(x = 9\): \[ 9(9 + 2y - 2) = 9 \implies 9 + 2y - 2 = 1 \implies 2y + 7 = 1 \implies 2y = -6 \implies y = -3 \]
   • Для \(x = -9\): \[ -9(-9 + 2y - 2) = 9 \implies -9 - 2y + 2 = -1 \implies -2y - 7 = -1 \implies -2y = 6 \implies y = -3 \]
6. Таким образом, решения уравнения \(x^2 + 2xy = 2x + 9\) в целых числах: \[ (x, y) = (1, 5), (-1, -4), (3, 1), (-3, 1), (9, -3), (-9, -3) \]

Ответ: \((1;5), (9;-3), (-1;-3), (-9;5), (3;1), (-3;1)\).

Решение №49443: Для решения уравнения \(x^2 + xy - 6y^2 = 6\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 + xy - 6y^2 = 6 \]
2. Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена по \(x\): \[ x^2 + xy - 6y^2 - 6 = 0 \]
3. Рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно \(x\): \[ x^2 + xy - (6y^2 + 6) = 0 \]
4. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) определяется как: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = y\), и \(c = -(6y^2 + 6)\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта: \[ D = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(6y^2 + 6)) \] \[ D = y^2 + 24y^2 + 24 \] \[ D = 25y^2 + 24 \]
5. Дискриминант должен быть полным квадратом для того, чтобы \(x\) был целым числом. Поэтому рассмотрим уравнение: \[ 25y^2 + 24 = k^2 \] где \(k\) — некоторое целое число.
6. Перепишем уравнение в виде: \[ k^2 - 25y^2 = 24 \] \[ (k + 5y)(k - 5y) = 24 \]
7. Рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 24: \[ (1, 24), (-1, -24), (2, 12), (-2, -12), (3, 8), (-3, -8), (4, 6), (-4, -6) \] и их перестановки.
8. Решим систему уравнений для каждой пары: \[ \begin{cases} k + 5y = a \\ k - 5y = b \end{cases} \] где \(a\) и \(b\) — числа из пар.
9. Для пары \((6, 4)\): \[ \begin{cases} k + 5y = 6 \\ k - 5y = 4 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2k = 10 \implies k = 5 \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ 10y = 2 \implies y = \frac{1}{5} \] \(y\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
10. Для пары \((4, 6)\): \[ \begin{cases} k + 5y = 4 \\ k - 5y = 6 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2k = 10 \implies k = 5 \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ 10y = -2 \implies y = -\frac{1}{5} \] \(y\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
11. Для пары \((3, 8)\): \[ \begin{cases} k + 5y = 3 \\ k - 5y = 8 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2k = 11 \implies k = \frac{11}{2} \] \(k\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
12. Для пары \((8, 3)\): \[ \begin{cases} k + 5y = 8 \\ k - 5y = 3 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2k = 11 \implies k = \frac{11}{2} \] \(k\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
13. Для пары \((2, 12)\): \[ \begin{cases} k + 5y = 2 \\ k - 5y = 12 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2k = 14 \implies k = 7 \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ 10y = -10 \implies y = -1 \] Подставим \(y = -1\) в исходное уравнение: \[ x^2 + x(-1) - 6(-1)^2 - 6 = 0 \] \[ x^2 - x - 6 - 6 = 0 \] \[ x^2 - x - 12 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \] \[ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -3 \] Таким образом, решениями являются \((x, y) = (4, -1)\) и \((x, y) = (-3, -1)\).
14. Для пары \((12, 2)\): \[ \begin{cases} k + 5y = 12 \\ k - 5y = 2 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2k = 14 \implies k = 7 \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ 10y = 10 \implies y = 1 \] Подставим \(y = 1\) в исходное уравнение: \[ x^2 + x(1) - 6(1)^2 - 6 = 0 \] \[ x^2 + x - 6 - 6 = 0 \] \[ x^2 + x - 12 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 7}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -4 \] Таким образом, решениями являются \((x, y) = (3, 1)\) и \((x, y) = (-4, 1)\).

Ответ: \((4;-1), (-4;1), (3;1), (-3;1)\).

Решение №49444: Для решения уравнения \(x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14 \]
2. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно \(x\): \[ x^2 - 2xy + x + (y - 3y^2 + y) = 14 \]
3. Запишем уравнение в виде: \[ x^2 - (2y - 1)x - 3y^2 + y = 14 \]
4. Решим квадратное уравнение относительно \(x\): \[ x = \frac{2y - 1 \pm \sqrt{(2y - 1)^2 + 4(3y^2 - y + 14)}}{2} \]
5. Упростим выражение под корнем: \[ (2y - 1)^2 + 4(3y^2 - y + 14) = 4y^2 - 4y + 1 + 12y^2 - 4y + 56 = 16y^2 - 8y + 57 \]
6. Таким образом, уравнение принимает вид: \[ x = \frac{2y - 1 \pm \sqrt{16y^2 - 8y + 57}}{2} \]
7. Для того чтобы \(x\) было целым числом, дискриминант \(D = 16y^2 - 8y + 57\) должен быть полным квадратом. Проверим, при каких целых \(y\) это возможно.
8. Поскольку \(16y^2 - 8y + 57\) должно быть полным квадратом, найдем такие \(y\), при которых это выражение является квадратом целого числа. Проверим несколько значений \(y\):
   • При \(y = 0\): \[ 16(0)^2 - 8(0) + 57 = 57 \quad (\text{не является полным квадратом}) \]
   • При \(y = 1\): \[ 16(1)^2 - 8(1) + 57 = 16 - 8 + 57 = 65 \quad (\text{не является полным квадратом}) \]
   • При \(y = 2\): \[ 16(2)^2 - 8(2) + 57 = 64 - 16 + 57 = 105 \quad (\text{не является полным квадратом}) \]
9. Продолжая проверку, находим, что при \(y = -2\): \[ 16(-2)^2 - 8(-2) + 57 = 16 \cdot 4 + 16 + 57 = 64 + 16 + 57 = 137 \quad (\text{не является полным квадратом}) \]
10. Продолжаем проверку для других значений \(y\), но не находим таких \(y\), при которых \(16y^2 - 8y + 57\) является полным квадратом.
11. Таким образом, уравнение \(x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14\) не имеет решений в целых числах.

Ответ: \((4; -3), (-11; -3), (3; -1), (-6; -1)\).

Решение №49445: Для решения уравнения \(x^2 - 4y^2 = 5\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 - 4y^2 = 5 \]
2. Перепишем уравнение в виде разности квадратов: \[ x^2 - (2y)^2 = 5 \]
3. Используем формулу разности квадратов: \[ (x - 2y)(x + 2y) = 5 \]
4. Заметим, что 5 — простое число, и оно может быть представлено как произведение двух целых чисел только двумя способами: \[ 5 = 1 \cdot 5 \quad \text{или} \quad 5 = (-1) \cdot (-5) \]
5. Рассмотрим первый случай: \[ x - 2y = 1 \quad \text{и} \quad x + 2y = 5 \]
6. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases} \]
7. Сложим уравнения: \[ (x - 2y) + (x + 2y) = 1 + 5 \\ 2x = 6 \\ x = 3 \]
8. Подставим \(x = 3\) в одно из уравнений: \[ 3 - 2y = 1 \\ -2y = -2 \\ y = 1 \]
9. Рассмотрим второй случай: \[ x - 2y = -1 \quad \text{и} \quad x + 2y = -5 \]
10. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + 2y = -5 \end{cases} \]
11. Сложим уравнения: \[ (x - 2y) + (x + 2y) = -1 - 5 \\ 2x = -6 \\ x = -3 \]
12. Подставим \(x = -3\) в одно из уравнений: \[ -3 - 2y = -1 \\ -2y = 2 \\ y = -1 \]
13. Таким образом, решениями уравнения \(x^2 - 4y^2 = 5\) в целых числах являются пары: \[ (x, y) = (3, 1) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-3, -1) \]

Ответ: \((3;1), (3;-1), (-3;1), (-3;-1)\).

Решение №49446: Для решения уравнения \(y^2 + 3xy = 15 + y\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ y^2 + 3xy = 15 + y \]
2. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ y^2 + 3xy - y - 15 = 0 \]
3. Сгруппируем члены: \[ y^2 + y(3x - 1) - 15 = 0 \]
4. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно \(y\): \[ y^2 + y(3x - 1) - 15 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение относительно \(y\) с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 3x - 1\) и \(c = -15\): \[ y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{(3x - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \]
6. Упростим выражение под корнем: \[ y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{(3x - 1)^2 + 60}}{2} \]
7. Развернем квадрат: \[ y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{9x^2 - 6x + 1 + 60}}{2} \]
8. Упростим выражение под корнем: \[ y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{9x^2 - 6x + 61}}{2} \]
9. Для того чтобы \(y\) было целым числом, выражение под корнем должно быть полным квадратом. Рассмотрим возможные значения \(x\): \[ 9x^2 - 6x + 61 = k^2 \] где \(k\) — целое число.
10. Проверим возможные значения \(x\) в целых числах: \[ x = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
11. Подставим \(x = 0\): \[ y^2 - y - 15 = 0 \] Решим уравнение: \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 60}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{2} \] Поскольку \(\sqrt{61}\) не является целым числом, \(x = 0\) не подходит.
12. Подставим \(x = 1\): \[ y^2 + 2y - 15 = 0 \] Решим уравнение: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2} \] Получим: \[ y = 3 \quad \text{или} \quad y = -5 \] Оба значения \(y\) являются целыми числами.
13. Подставим \(x = -1\): \[ y^2 - 4y - 15 = 0 \] Решим уравнение: \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2} \] Поскольку \(\sqrt{76}\) не является целым числом, \(x = -1\) не подходит.
14. Подставим \(x = 2\): \[ y^2 + 5y - 15 = 0 \] Решим уравнение: \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 60}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{85}}{2} \] Поскольку \(\sqrt{85}\) не является целым числом, \(x = 2\) не подходит.
15. Таким образом, единственное возможное значение \(x\), при котором \(y\) является целым числом, это \(x = 1\). При \(x = 1\) значения \(y\) равны 3 и -5.

Ответ: \((5;1), (1;3), (1;-5), (5;-15)\).

Решение №49447: Для решения уравнения \(x^2 - 3xy + 3y - x = 10\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 - 3xy + 3y - x = 10 \]
2. Перегруппируем члены уравнения: \[ x^2 - x - 3xy + 3y = 10 \]
3. Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(x - 1) - 3y(x - 1) = 10 \]
4. Вынесем общий множитель \((x - 1)\): \[ (x - 1)(x - 3y) = 10 \]
5. Рассмотрим возможные пары целых чисел \((a, b)\), такие что \(a \cdot b = 10\). Возможные пары: \[ (1, 10), (-1, -10), (2, 5), (-2, -5), (10, 1), (-10, -1), (5, 2), (-5, -2) \]
6. Подставим каждую пару в уравнение \((x - 1)(x - 3y) = 10\) и решим его для \(x\) и \(y\):
   • Для пары \((1, 10)\): \[ x - 1 = 1 \quad \text{и} \quad x - 3y = 10 \] \[ x = 2 \quad \text{и} \quad 2 - 3y = 10 \] \[ 2 - 3y = 10 \implies -3y = 8 \implies y = -\frac{8}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-1, -10)\): \[ x - 1 = -1 \quad \text{и} \quad x - 3y = -10 \] \[ x = 0 \quad \text{и} \quad 0 - 3y = -10 \] \[ 0 - 3y = -10 \implies -3y = -10 \implies y = \frac{10}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((2, 5)\): \[ x - 1 = 2 \quad \text{и} \quad x - 3y = 5 \] \[ x = 3 \quad \text{и} \quad 3 - 3y = 5 \] \[ 3 - 3y = 5 \implies -3y = 2 \implies y = -\frac{2}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-2, -5)\): \[ x - 1 = -2 \quad \text{и} \quad x - 3y = -5 \] \[ x = -1 \quad \text{и} \quad -1 - 3y = -5 \] \[ -1 - 3y = -5 \implies -3y = -4 \implies y = \frac{4}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((10, 1)\): \[ x - 1 = 10 \quad \text{и} \quad x - 3y = 1 \] \[ x = 11 \quad \text{и} \quad 11 - 3y = 1 \] \[ 11 - 3y = 1 \implies -3y = -10 \implies y = \frac{10}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-10, -1)\): \[ x - 1 = -10 \quad \text{и} \quad x - 3y = -1 \] \[ x = -9 \quad \text{и} \quad -9 - 3y = -1 \] \[ -9 - 3y = -1 \implies -3y = 8 \implies y = -\frac{8}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((5, 2)\): \[ x - 1 = 5 \quad \text{и} \quad x - 3y = 2 \] \[ x = 6 \quad \text{и} \quad 6 - 3y = 2 \] \[ 6 - 3y = 2 \implies -3y = -4 \implies y = \frac{4}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-5, -2)\): \[ x - 1 = -5 \quad \text{и} \quad x - 3y = -2 \] \[ x = -4 \quad \text{и} \quad -4 - 3y = -2 \] \[ -4 - 3y = -2 \implies -3y = 2 \implies y = -\frac{2}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
7. Таким образом, уравнение \(x^2 - 3xy + 3y - x = 10\) не имеет решений в целых числах.

Ответ: Решений нет

Решение №49448: Для решения уравнения \(2y^2 - xy - x^2 = 2\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2y^2 - xy - x^2 = 2 \]
2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \[ 2y^2 - xy - x^2 - 2 = 0 \]
3. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно \(y\): \[ 2y^2 - xy - (x^2 + 2) = 0 \]
4. Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = -x\), и \(c = -(x^2 + 2)\).
5. Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу: \[ y = \frac{x \pm \sqrt{(-x)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(x^2 + 2))}}{2 \cdot 2} \]
6. Упростим выражение под корнем: \[ y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 + 8(x^2 + 2)}}{4} \] \[ y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 + 8x^2 + 16}}{4} \] \[ y = \frac{x \pm \sqrt{9x^2 + 16}}{4} \]
7. Для того чтобы \(y\) было целым числом, выражение под корнем \(\sqrt{9x^2 + 16}\) должно быть полным квадратом. Пусть \(\sqrt{9x^2 + 16} = k\), где \(k\) — целое число. Тогда: \[ 9x^2 + 16 = k^2 \]
8. Рассмотрим возможные значения \(x\), при которых \(9x^2 + 16\) является полным квадратом. Проверим несколько значений \(x\): - Если \(x = 0\): \[ 9(0)^2 + 16 = 16 \quad (\text{не является полным квадратом}) \] - Если \(x = 1\): \[ 9(1)^2 + 16 = 25 = 5^2 \quad (\text{является полным квадратом}) \] - Если \(x = -1\): \[ 9(-1)^2 + 16 = 25 = 5^2 \quad (\text{является полным квадратом}) \] - Если \(x = 2\): \[ 9(2)^2 + 16 = 52 \quad (\text{не является полным квадратом}) \] - Если \(x = -2\): \[ 9(-2)^2 + 16 = 52 \quad (\text{не является полным квадратом}) \]
9. Таким образом, возможные значения \(x\) — это \(1\) и \(-1\).
10. Для \(x = 1\): \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4} \] \[ y = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \quad (\text{не целое число}) \] \[ y = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \quad (\text{целое число}) \]
11. Для \(x = -1\): \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] \[ y = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \quad (\text{целое число}) \] \[ y = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \quad (\text{не целое число}) \]
12. Таким образом, решениями уравнения \(2y^2 - xy - x^2 = 2\) в целых числах являются пары \((x, y)\): \[ (1, -1) \quad \text{и} \quad (-1, 1) \]

Ответ: \((0;1), (0;-1), (-1;1), (1; -1)\).

Решение №49449: Для решения задачи о существовании многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами, такого что \(P(1) = 17\) и \(P(9) = 53\), выполним следующие шаги:

1. Пусть \(P(x)\) — многочлен с целыми коэффициентами.
2. Рассмотрим разность \(P(9) - P(1)\): \[ P(9) - P(1) = 53 - 17 = 36 \]
3. Так как \(P(x)\) — многочлен с целыми коэффициентами, разность \(P(9) - P(1)\) должна быть кратна \(9 - 1 = 8\).
4. Проверим, является ли 36 кратным 8: \[ 36 \div 8 = 4.5 \] Поскольку 36 не делится на 8 без остатка, 36 не кратно 8.
5. Таким образом, разность \(P(9) - P(1)\) не кратна 8, что противоречит условию задачи.

Ответ: Не существует

Решение №49450: Для решения уравнения \(xy = x + y\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ xy = x + y \]
2. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ xy - x - y = 0 \]
3. Добавим и вычтем 1 в левой части уравнения: \[ xy - x - y + 1 = 1 \]
4. Перегруппируем члены: \[ (x-1)(y-1) = 1 \]
5. Рассмотрим возможные значения для \((x-1)\) и \((y-1)\), так как их произведение равно 1. Возможные пары \((x-1, y-1)\) в целых числах: \[ (1, 1) \quad \text{и} \quad (-1, -1) \]
6. Решим уравнения для каждой пары:
   • Для пары \((1, 1)\): \[ x-1 = 1 \quad \text{и} \quad y-1 = 1 \] \[ x = 2 \quad \text{и} \quad y = 2 \]
   • Для пары \((-1, -1)\): \[ x-1 = -1 \quad \text{и} \quad y-1 = -1 \] \[ x = 0 \quad \text{и} \quad y = 0 \]
7. Проверим полученные решения:
   • Для \(x = 2\) и \(y = 2\): \[ xy = 2 \cdot 2 = 4 \quad \text{и} \quad x + y = 2 + 2 = 4 \] Уравнение выполняется.
   • Для \(x = 0\) и \(y = 0\): \[ xy = 0 \cdot 0 = 0 \quad \text{и} \quad x + y = 0 + 0 = 0 \] Уравнение выполняется.

Ответ: \((0;0), (2:2)\).

Решение №49451: Для решения уравнения \(xy - x - 2y = 5\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ xy - x - 2y = 5 \]
2. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ xy - x - 2y - 5 = 0 \]
3. Прибавим 2 к обеим сторонам уравнения, чтобы сгруппировать члены: \[ xy - x - 2y + 2 = 7 \]
4. Перегруппируем члены, чтобы факторизовать выражение: \[ (x - 2)(y - 1) = 7 \]
5. Так как 7 является простым числом, его можно представить в виде произведения целых чисел следующими способами: \[ 7 = 1 \cdot 7 \quad \text{или} \quad 7 = (-1) \cdot (-7) \]
6. Рассмотрим первый случай: \[ (x - 2) = 1 \quad \text{и} \quad (y - 1) = 7 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = 1 \implies x = 3 \] \[ y - 1 = 7 \implies y = 8 \]
7. Рассмотрим второй случай: \[ (x - 2) = 7 \quad \text{и} \quad (y - 1) = 1 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = 7 \implies x = 9 \] \[ y - 1 = 1 \implies y = 2 \]
8. Рассмотрим третий случай: \[ (x - 2) = -1 \quad \text{и} \quad (y - 1) = -7 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = -1 \implies x = 1 \] \[ y - 1 = -7 \implies y = -6 \]
9. Рассмотрим четвертый случай: \[ (x - 2) = -7 \quad \text{и} \quad (y - 1) = -1 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = -7 \implies x = -5 \] \[ y - 1 = -1 \implies y = 0 \]

Ответ: \((9;2), (-5;0), (3;8),(1;-6)\).

Решение №49452: Для решения уравнения \(2xu + 2x - 3u - 4 = 0\) в целых числах, выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2xu + 2x - 3u - 4 = 0 \]
2. Представим уравнение в виде, удобном для факторизации: \[ 2xu + 2x - 3u - 4 = 0 \]
3. Группируем слагаемые: \[ (2xu + 2x) - (3u + 4) = 0 \]
4. Вынесем общий множитель из первой группы: \[ 2x(u + 1) - (3u + 4) = 0 \]
5. Вынесем общий множитель из второй группы: \[ 2x(u + 1) - 3(u + 1) = 0 \]
6. Вынесем общий множитель \( (u + 1) \): \[ (u + 1)(2x - 3) = 0 \]
7. Распишем возможные случаи для произведения, равного нулю: \[ u + 1 = 0 \quad \text{или} \quad 2x - 3 = 0 \]
8. Решим первое уравнение: \[ u + 1 = 0 \implies u = -1 \]
9. Решим второе уравнение: \[ 2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \]
10. Поскольку \(x\) должно быть целым числом, уравнение \(2x - 3 = 0\) не имеет решений в целых числах.
11. Таким образом, единственное решение в целых числах: \[ u = -1 \quad \text{и} \quad x = \frac{3}{2} \quad \text{(не целое)} \]

Ответ: \((2;0), (1;-2)\).

Решение №49453: Для доказательства того, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 9^n\) кратно 5, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим выражение: \[ S = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 9^n \]
2. Заметим, что \(1^n \equiv 1 \pmod{5}\), \(2^n \equiv 2^n \pmod{5}\), \(3^n \equiv 3^n \pmod{5}\), \(4^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{5}\), \(5^n \equiv 0 \pmod{5}\), \(6^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{5}\), \(7^n \equiv (-3)^n \equiv 3^n \pmod{5}\), \(8^n \equiv (-2)^n \equiv 2^n \pmod{5}\), \(9^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{5}\).
3. Подставим эти значения в выражение: \[ S \equiv 1 + 2^n + 3^n - 1 + 0 + 1 + 3^n + 2^n - 1 \pmod{5} \]
4. Сгруппируем слагаемые: \[ S \equiv (1 - 1) + (1 - 1) + (2^n + 2^n) + (3^n + 3^n) + 0 \pmod{5} \]
5. Упростим выражение: \[ S \equiv 0 + 2 \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n + 0 \pmod{5} \]
6. Так как \(n\) нечётное, \(2^n\) и \(3^n\) также нечётные, и их сумма будет чётной, следовательно: \[ 2 \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n \equiv 0 \pmod{5} \]
7. Таким образом, \[ S \equiv 0 \pmod{5} \]

Ответ: NaN

Решение №49454: Для доказательства того, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n\) не кратно 10, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим выражение: \[ 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 9^n \]
2. Разделим числа на пары, симметричные относительно 5: \[ (1^n + 9^n) + (2^n + 8^n) + (3^n + 7^n) + (4^n + 6^n) + 5^n \]
3. Используем свойства степеней для симметричных пар: \[ 1^n + 9^n = 1 + 9^n \] \[ 2^n + 8^n = 2^n + (10 - 2)^n = 2^n + (10^n - \text{кратные 10 слагаемые}) = 2^n + (-2)^n \] \[ 3^n + 7^n = 3^n + (10 - 3)^n = 3^n + (10^n - \text{кратные 10 слагаемые}) = 3^n + (-3)^n \] \[ 4^n + 6^n = 4^n + (10 - 4)^n = 4^n + (10^n - \text{кратные 10 слагаемые}) = 4^n + (-4)^n \] \[ 5^n = 5^n \]
4. Учтем, что для нечётных \(n\) \((-a)^n = -a^n\): \[ 2^n + (-2)^n = 2^n - 2^n = 0 \] \[ 3^n + (-3)^n = 3^n - 3^n = 0 \] \[ 4^n + (-4)^n = 4^n - 4^n = 0 \]
5. Сумма пар даёт: \[ (1^n + 9^n) + (2^n + 8^n) + (3^n + 7^n) + (4^n + 6^n) + 5^n = 1 + 9^n + 0 + 0 + 0 + 5^n \]
6. Упростим выражение: \[ 1 + 9^n + 5^n \]
7. Рассмотрим \(9^n\) и \(5^n\): \[ 9^n = (10 - 1)^n = 10^n - \text{кратные 10 слагаемые} = (-1)^n = -1 \quad (\text{для нечётных } n) \] \[ 5^n = 5 \quad (\text{для нечётных } n) \]
8. Подставим и упростим: \[ 1 + (-1) + 5 = 1 - 1 + 5 = 5 \]
9. Итак, сумма: \[ 1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n = 5 \]
10. Заключение: Поскольку 5 не кратно 10, значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n\) при любых нечётных натуральных значениях \(n\) не кратно 10.

Ответ: NaN

Решение №49455: Чтобы доказать, что при любых нечётных натуральных значениях \( n > 1 \) значение выражения \( 1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 99^n \) кратно 100, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим выражение \( S = 1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 99^n \).
2. Разделим это выражение на две части: \( S_1 \) и \( S_2 \), где \( S_1 \) содержит чётные степени, а \( S_2 \) — нечётные степени.
3. Заметим, что для любого нечётного \( n \) и любого \( k \) от 1 до 49: \[ (100 - k)^n + k^n \equiv 0 \pmod{100} \] Это следует из того, что \( (100 - k)^n \) и \( k^n \) при любом нечётном \( n \) и \( k \) от 1 до 49 будут давать сумму, кратную 100.
4. Теперь рассмотрим пары \( (k, 100 - k) \) для \( k \) от 1 до 49. Для каждой такой пары: \[ k^n + (100 - k)^n \equiv 0 \pmod{100} \] Это означает, что каждая пара \( (k, 100 - k) \) даёт сумму, кратную 100.
5. Так как количество таких пар равно 49 (от 1 до 49), то сумма всех этих пар также будет кратна 100.
6. Таким образом, сумма \( S \) всех степеней от 1 до 99 при нечётном \( n \) будет кратна 100.

Ответ: NaN

Решение №49456: Для решения задачи Числа \( x \) и \( y \) таковы, что значение выражения \( 3x + 8y \) кратно 19. Докажите, что значение выражения \( 13x + 3y \) кратно 19 выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \]
2. Нам нужно доказать, что: \[ 13x + 3y \equiv 0 \pmod{19} \]
3. Умножим исходное уравнение \( 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \) на 3: \[ 3(3x + 8y) \equiv 3 \cdot 0 \pmod{19} \] \[ 9x + 24y \equiv 0 \pmod{19} \]
4. Упростим выражение \( 9x + 24y \) по модулю 19: \[ 24y \equiv 5y \pmod{19} \] \[ 9x + 5y \equiv 0 \pmod{19} \]
5. Теперь у нас есть уравнение: \[ 9x + 5y \equiv 0 \pmod{19} \]
6. Умножим исходное уравнение \( 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \) на 4: \[ 4(3x + 8y) \equiv 4 \cdot 0 \pmod{19} \] \[ 12x + 32y \equiv 0 \pmod{19} \]
7. Упростим выражение \( 12x + 32y \) по модулю 19: \[ 32y \equiv 13y \pmod{19} \] \[ 12x + 13y \equiv 0 \pmod{19} \]
8. Теперь у нас есть уравнение: \[ 12x + 13y \equiv 0 \pmod{19} \]
9. Сложим уравнения \( 9x + 5y \equiv 0 \pmod{19} \) и \( 12x + 13y \equiv 0 \pmod{19} \): \[ (9x + 5y) + (12x + 13y) \equiv 0 + 0 \pmod{19} \] \[ 21x + 18y \equiv 0 \pmod{19} \]
10. Упростим выражение \( 21x + 18y \) по модулю 19: \[ 21x \equiv 2x \pmod{19} \] \[ 18y \equiv -y \pmod{19} \] \[ 2x - y \equiv 0 \pmod{19} \]
11. Теперь у нас есть уравнение: \[ 2x - y \equiv 0 \pmod{19} \]
12. Умножим это уравнение на 3: \[ 3(2x - y) \equiv 3 \cdot 0 \pmod{19} \] \[ 6x - 3y \equiv 0 \pmod{19} \]
13. Сложим уравнения \( 13x + 3y \equiv 0 \pmod{19} \) и \( 6x - 3y \equiv 0 \pmod{19} \): \[ (13x + 3y) + (6x - 3y) \equiv 0 + 0 \pmod{19} \] \[ 19x \equiv 0 \pmod{19} \]
14. Так как \( 19x \equiv 0 \pmod{19} \), то: \[ x \equiv 0 \pmod{19} \]
15. Подставим \( x \equiv 0 \pmod{19} \) в исходное уравнение \( 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \): \[ 3 \cdot 0 + 8y \equiv 0 \pmod{19} \] \[ 8y \equiv 0 \pmod{19} \]
16. Так как \( 8y \equiv 0 \pmod{19} \), то: \[ y \equiv 0 \pmod{19} \]
17. Теперь подставим \( x \equiv 0 \pmod{19} \) и \( y \equiv 0 \pmod{19} \) в выражение \( 13x + 3y \): \[ 13 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \equiv 0 \pmod{19} \] \[ 0 \equiv 0 \pmod{19} \]

Ответ: NaN

Решение №49457: Для решения задачи, необходимо доказать, что если значение выражения \(2c + 5d\) кратно 17, то и значение выражения \(11c + 2d\) также кратно 17. Выполним следующие шаги:

1. Пусть \(2c + 5d\) кратно 17. Это означает, что существует некоторое целое число \(k\), такое что: \[ 2c + 5d = 17k \]
2. Нам нужно доказать, что \(11c + 2d\) также кратно 17. Для этого попробуем выразить \(11c + 2d\) через \(2c + 5d\).
3. Заметим, что \(11c + 2d\) можно записать как: \[ 11c + 2d = 5(2c + 5d) - 17d \]
4. Подставим \(2c + 5d = 17k\) в выражение: \[ 11c + 2d = 5(17k) - 17d \]
5. Упростим выражение: \[ 11c + 2d = 85k - 17d \]
6. Вынесем 17 за скобки: \[ 11c + 2d = 17(5k - d) \]
7. Так как \(5k - d\) является целым числом, то \(11c + 2d\) кратно 17.

Ответ: NaN

Решение №49458: Для решения задачи Числа \(x\) и \(y\) таковы, что \((3x + 10y) \vdots 13\). Докажите, что \((3x + 10y)(3y + 10x) \vdots 169\) выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ (3x + 10y) \vdots 13 \] Это означает, что \(3x + 10y\) делится на 13.
2. Предположим, что \(3x + 10y = 13k\) для некоторого целого числа \(k\).
3. Теперь рассмотрим выражение \((3x + 10y)(3y + 10x)\). Подставим \(3x + 10y = 13k\): \[ (3x + 10y)(3y + 10x) = 13k(3y + 10x) \]
4. Нам нужно показать, что это выражение делится на 169. Для этого представим \(3y + 10x\) в виде \(13m\) для некоторого целого числа \(m\): \[ 3y + 10x = 13m \]
5. Подставим \(3y + 10x = 13m\) в выражение: \[ 13k(3y + 10x) = 13k \cdot 13m = 169km \]
6. Поскольку \(169 = 13^2\), то \(169km\) делится на 169 для любых целых чисел \(k\) и \(m\).
7. Таким образом, \((3x + 10y)(3y + 10x)\) делится на 169.

Ответ: NaN

Решение №49459: Для доказательства того, что \(m^3 \vdots (m+n)\), если \(m\) и \(n\) — натуральные числа, такие что \(m^2 \vdots (m+n)\), выполним следующие шаги:

1. Предположим, что \(m^2 \vdots (m+n)\). Это означает, что \(m^2\) делится на \(m+n\).
2. Запишем это условие в виде уравнения: \[ m^2 = k(m+n) \quad \text{для некоторого целого числа } k. \]
3. Теперь нужно доказать, что \(m^3 \vdots (m+n)\). Рассмотрим выражение для \(m^3\): \[ m^3 = m \cdot m^2. \]
4. Подставим \(m^2\) из предыдущего уравнения: \[ m^3 = m \cdot k(m+n) = k \cdot m(m+n). \]
5. Таким образом, мы видим, что \(m^3\) делится на \(m+n\), так как \(m^3\) представляет собой произведение \(k\), \(m\) и \(m+n\): \[ m^3 = k \cdot m(m+n). \]
6. Следовательно, \(m^3 \vdots (m+n)\).

Ответ: NaN

Решение №49460: Для решения задачи докажем, что сумма чисел \(\overline{bca}\) и \(\overline{cab}\) также кратна числу 87, если трёхзначное число \(\overline{abc}\) кратно числу 37.

1. Пусть трёхзначное число \(\overline{abc}\) кратно 37. Это означает, что существует такое целое число \(k\), что: \[ \overline{abc} = 100a + 10b + c = 37k \]
2. Запишем число \(\overline{bca}\): \[ \overline{bca} = 100b + 10c + a \]
3. Запишем число \(\overline{cab}\): \[ \overline{cab} = 100c + 10a + b \]
4. Найдём сумму чисел \(\overline{bca}\) и \(\overline{cab}\): \[ \overline{bca} + \overline{cab} = (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) \]
5. Сложим выражения: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 100b + 10c + a + 100c + 10a + b = 101b + 110c + 11a \]
6. Перепишем сумму в виде: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 11(10a + b + c) + 87c \]
7. Подставим \(10a + b + c\) из уравнения \(\overline{abc} = 37k\): \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 11(37k) + 87c \]
8. Раскроем скобки: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 407k + 87c \]
9. Заметим, что \(407k + 87c\) можно представить как: \[ 407k + 87c = 87(4.68k + c) \]
10. Следовательно, сумма \(\overline{bca} + \overline{cab}\) кратна 87: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 87(4.68k + c) \]

Ответ: NaN

Решение №49461: Для решения задачи, доказывающей, что трёхзначное число \( m = \overline{aba} \) делится на 7, если сумма его цифр \( a \) и \( b \) делится на 7, выполним следующие шаги:

1. Запишем число \( m \) в виде: \[ m = \overline{aba} = 100a + 10b + a = 101a + 10b \]
2. Рассмотрим выражение \( 101a + 10b \). Заметим, что: \[ 101a + 10b = 101(a + b) - 91b \]
3. Поскольку \( (a + b) \vdots 7 \), то \( 101(a + b) \vdots 7 \), так как 101 и 7 взаимно просты. Следовательно, \( 101(a + b) \vdots 7 \).
4. Также заметим, что \( 91b \vdots 7 \), поскольку 91 делится на 7.
5. Теперь вычтем \( 91b \) из \( 101(a + b) \): \[ 101a + 10b = 101(a + b) - 91b \]
6. Поскольку оба слагаемых делятся на 7, то и их разность делится на 7: \[ 101a + 10b \vdots 7 \]
7. Таким образом, \( m \vdots 7 \).

Ответ: NaN

Решение №49462: Для доказательства того, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечётное, и формулировки и доказательства обратного утверждения, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим натуральное число \( n \). Если \( n \) — квадрат натурального числа, то \( n = k^2 \) для некоторого натурального числа \( k \).
2. Делители числа \( n \) являются также делителями \( k^2 \). Пусть \( d \) — делитель \( k^2 \). Тогда существует такое натуральное число \( m \), что: \[ d \cdot m = k^2 \]
3. Если \( d \) — делитель \( k^2 \), то \( m \) также является делителем \( k^2 \), так как: \[ m = \frac{k^2}{d} \]
4. Делители \( k^2 \) можно разбить на пары \( (d, m) \), где \( d \cdot m = k^2 \). Однако, если \( d = k \), то \( m = k \), и пара \( (k, k) \) является единственной парой, где оба числа равны.
5. Таким образом, все остальные делители \( k^2 \) можно разбить на пары \( (d, m) \), где \( d \neq m \). Это означает, что количество таких пар четно.
6. Следовательно, общее количество делителей \( k^2 \) равно четному числу плюс один (для пары \( (k, k) \)), что дает нечетное число.

1. Пусть \( n \) — натуральное число, у которого количество делителей нечётное. Нужно доказать, что \( n \) является квадратом натурального числа.
2. Рассмотрим делители \( n \). Пусть \( d \) — делитель \( n \). Тогда существует такое натуральное число \( m \), что: \[ d \cdot m = n \]
3. Если \( d \) — делитель \( n \), то \( m \) также является делителем \( n \), так как: \[ m = \frac{n}{d} \]
4. Делители \( n \) можно разбить на пары \( (d, m) \), где \( d \cdot m = n \). Если количество делителей нечётное, то существует хотя бы один делитель \( d \), для которого \( d = m \).
5. Это означает, что \( d^2 = n \), то есть \( n \) является квадратом натурального числа \( d \).

Ответ: NaN