Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите в целых числах уравнение: \(x^2+xy-6y^2=6\).
Ответ
\((4;-1), (-4;1), (3;1), (-3;1)\).
Решение № 49443:
Для решения уравнения \(x^2 + xy - 6y^2 = 6\) в целых числах выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
x^2 + xy - 6y^2 = 6
\]
- Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена по \(x\):
\[
x^2 + xy - 6y^2 - 6 = 0
\]
- Рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно \(x\):
\[
x^2 + xy - (6y^2 + 6) = 0
\]
- Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) определяется как:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = y\), и \(c = -(6y^2 + 6)\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\[
D = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(6y^2 + 6))
\]
\[
D = y^2 + 24y^2 + 24
\]
\[
D = 25y^2 + 24
\]
- Дискриминант должен быть полным квадратом для того, чтобы \(x\) был целым числом. Поэтому рассмотрим уравнение:
\[
25y^2 + 24 = k^2
\]
где \(k\) — некоторое целое число.
- Перепишем уравнение в виде:
\[
k^2 - 25y^2 = 24
\]
\[
(k + 5y)(k - 5y) = 24
\]
- Рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 24:
\[
(1, 24), (-1, -24), (2, 12), (-2, -12), (3, 8), (-3, -8), (4, 6), (-4, -6)
\]
и их перестановки.
- Решим систему уравнений для каждой пары:
\[
\begin{cases}
k + 5y = a \\
k - 5y = b
\end{cases}
\]
где \(a\) и \(b\) — числа из пар.
- Для пары \((6, 4)\):
\[
\begin{cases}
k + 5y = 6 \\
k - 5y = 4
\end{cases}
\]
Сложим уравнения:
\[
2k = 10 \implies k = 5
\]
Вычтем второе уравнение из первого:
\[
10y = 2 \implies y = \frac{1}{5}
\]
\(y\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
- Для пары \((4, 6)\):
\[
\begin{cases}
k + 5y = 4 \\
k - 5y = 6
\end{cases}
\]
Сложим уравнения:
\[
2k = 10 \implies k = 5
\]
Вычтем второе уравнение из первого:
\[
10y = -2 \implies y = -\frac{1}{5}
\]
\(y\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
- Для пары \((3, 8)\):
\[
\begin{cases}
k + 5y = 3 \\
k - 5y = 8
\end{cases}
\]
Сложим уравнения:
\[
2k = 11 \implies k = \frac{11}{2}
\]
\(k\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
- Для пары \((8, 3)\):
\[
\begin{cases}
k + 5y = 8 \\
k - 5y = 3
\end{cases}
\]
Сложим уравнения:
\[
2k = 11 \implies k = \frac{11}{2}
\]
\(k\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
- Для пары \((2, 12)\):
\[
\begin{cases}
k + 5y = 2 \\
k - 5y = 12
\end{cases}
\]
Сложим уравнения:
\[
2k = 14 \implies k = 7
\]
Вычтем второе уравнение из первого:
\[
10y = -10 \implies y = -1
\]
Подставим \(y = -1\) в исходное уравнение:
\[
x^2 + x(-1) - 6(-1)^2 - 6 = 0
\]
\[
x^2 - x - 6 - 6 = 0
\]
\[
x^2 - x - 12 = 0
\]
Решим квадратное уравнение:
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm 7}{2}
\]
\[
x = 4 \quad \text{или} \quad x = -3
\]
Таким образом, решениями являются \((x, y) = (4, -1)\) и \((x, y) = (-3, -1)\).
- Для пары \((12, 2)\):
\[
\begin{cases}
k + 5y = 12 \\
k - 5y = 2
\end{cases}
\]
Сложим уравнения:
\[
2k = 14 \implies k = 7
\]
Вычтем второе уравнение из первого:
\[
10y = 10 \implies y = 1
\]
Подставим \(y = 1\) в исходное уравнение:
\[
x^2 + x(1) - 6(1)^2 - 6 = 0
\]
\[
x^2 + x - 6 - 6 = 0
\]
\[
x^2 + x - 12 = 0
\]
Решим квадратное уравнение:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm 7}{2}
\]
\[
x = 3 \quad \text{или} \quad x = -4
\]
Таким образом, решениями являются \((x, y) = (3, 1)\) и \((x, y) = (-4, 1)\).
Итак, решениями уравнения \(x^2 + xy - 6y^2 = 6\) в целых числах являются пары \((4, -1)\), \((-3, -1)\), \((3, 1)\) и \((-4, 1)\).