Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите в целых числах уравнение: \(9x^2-y^2=6\).

Ответ

Решений нет

Решение № 49441:

Для решения уравнения \(9x^2 - y^2 = 6\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 9x^2 - y^2 = 6 \]
2. Перепишем уравнение в виде разности квадратов: \[ (3x)^2 - y^2 = 6 \]
3. Используем формулу разности квадратов: \[ (3x - y)(3x + y) = 6 \]
4. Рассмотрим все возможные пары целых чисел \((a, b)\), такие что \(a \cdot b = 6\). Эти пары: \[ (1, 6), (6, 1), (-1, -6), (-6, -1), (2, 3), (3, 2), (-2, -3), (-3, -2) \]
5. Проверим каждую пару на соответствие системе уравнений: \[ 3x - y = a \quad \text{и} \quad 3x + y = b \]
6. Рассмотрим пару \((1, 6)\): \[ 3x - y = 1 \quad \text{и} \quad 3x + y = 6 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 1 + 6 \] \[ 6x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
7. Рассмотрим пару \((6, 1)\): \[ 3x - y = 6 \quad \text{и} \quad 3x + y = 1 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 6 + 1 \] \[ 6x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
8. Рассмотрим пару \((2, 3)\): \[ 3x - y = 2 \quad \text{и} \quad 3x + y = 3 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 2 + 3 \] \[ 6x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
9. Рассмотрим пару \((3, 2)\): \[ 3x - y = 3 \quad \text{и} \quad 3x + y = 2 \]
   • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = 3 + 2 \] \[ 6x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
10. Рассмотрим пару \((-1, -6)\): \[ 3x - y = -1 \quad \text{и} \quad 3x + y = -6 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -1 + (-6) \] \[ 6x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
11. Рассмотрим пару \((-6, -1)\): \[ 3x - y = -6 \quad \text{и} \quad 3x + y = -1 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -6 + (-1) \] \[ 6x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
12. Рассмотрим пару \((-2, -3)\): \[ 3x - y = -2 \quad \text{и} \quad 3x + y = -3 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -2 + (-3) \] \[ 6x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
13. Рассмотрим пару \((-3, -2)\): \[ 3x - y = -3 \quad \text{и} \quad 3x + y = -2 \]
    • Сложим уравнения: \[ (3x - y) + (3x + y) = -3 + (-2) \] \[ 6x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{6} \quad \text{(не целое число)} \]
14. Так как ни одна из пар не дает целых решений для \(x\), уравнение \(9x^2 - y^2 = 6\) не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений в целых числах.