Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Числа \(х\) и \(у\) таковы, что \((3х + 10y) \vdots 13\). Докажите, что \((3х + 10y)(Зу + 10х) \vdots 169\).

Ответ

NaN

Решение № 49458:

Для решения задачи Числа \(x\) и \(y\) таковы, что \((3x + 10y) \vdots 13\). Докажите, что \((3x + 10y)(3y + 10x) \vdots 169\) выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ (3x + 10y) \vdots 13 \] Это означает, что \(3x + 10y\) делится на 13.
2. Предположим, что \(3x + 10y = 13k\) для некоторого целого числа \(k\).
3. Теперь рассмотрим выражение \((3x + 10y)(3y + 10x)\). Подставим \(3x + 10y = 13k\): \[ (3x + 10y)(3y + 10x) = 13k(3y + 10x) \]
4. Нам нужно показать, что это выражение делится на 169. Для этого представим \(3y + 10x\) в виде \(13m\) для некоторого целого числа \(m\): \[ 3y + 10x = 13m \]
5. Подставим \(3y + 10x = 13m\) в выражение: \[ 13k(3y + 10x) = 13k \cdot 13m = 169km \]
6. Поскольку \(169 = 13^2\), то \(169km\) делится на 169 для любых целых чисел \(k\) и \(m\).
7. Таким образом, \((3x + 10y)(3y + 10x)\) делится на 169.

Ответ: Доказано.