Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n\):
не кратно 10.
Ответ
NaN
Решение № 49454:
Для доказательства того, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n\) не кратно 10, выполним следующие шаги:
- Рассмотрим выражение:
\[
1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 9^n
\]
- Разделим числа на пары, симметричные относительно 5:
\[
(1^n + 9^n) + (2^n + 8^n) + (3^n + 7^n) + (4^n + 6^n) + 5^n
\]
- Используем свойства степеней для симметричных пар:
\[
1^n + 9^n = 1 + 9^n
\]
\[
2^n + 8^n = 2^n + (10 - 2)^n = 2^n + (10^n - \text{кратные 10 слагаемые}) = 2^n + (-2)^n
\]
\[
3^n + 7^n = 3^n + (10 - 3)^n = 3^n + (10^n - \text{кратные 10 слагаемые}) = 3^n + (-3)^n
\]
\[
4^n + 6^n = 4^n + (10 - 4)^n = 4^n + (10^n - \text{кратные 10 слагаемые}) = 4^n + (-4)^n
\]
\[
5^n = 5^n
\]
- Учтем, что для нечётных \(n\) \((-a)^n = -a^n\):
\[
2^n + (-2)^n = 2^n - 2^n = 0
\]
\[
3^n + (-3)^n = 3^n - 3^n = 0
\]
\[
4^n + (-4)^n = 4^n - 4^n = 0
\]
- Сумма пар даёт:
\[
(1^n + 9^n) + (2^n + 8^n) + (3^n + 7^n) + (4^n + 6^n) + 5^n = 1 + 9^n + 0 + 0 + 0 + 5^n
\]
- Упростим выражение:
\[
1 + 9^n + 5^n
\]
- Рассмотрим \(9^n\) и \(5^n\):
\[
9^n = (10 - 1)^n = 10^n - \text{кратные 10 слагаемые} = (-1)^n = -1 \quad (\text{для нечётных } n)
\]
\[
5^n = 5 \quad (\text{для нечётных } n)
\]
- Подставим и упростим:
\[
1 + (-1) + 5 = 1 - 1 + 5 = 5
\]
- Итак, сумма:
\[
1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n = 5
\]
- Заключение:
Поскольку 5 не кратно 10, значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n\) при любых нечётных натуральных значениях \(n\) не кратно 10.
Таким образом, доказано, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n\) не кратно 10.