Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях \(n > 1\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n +... + 99^n\) кратно 100.

Ответ

NaN

Решение № 49455:

Чтобы доказать, что при любых нечётных натуральных значениях \( n > 1 \) значение выражения \( 1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 99^n \) кратно 100, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим выражение \( S = 1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 99^n \).
2. Разделим это выражение на две части: \( S_1 \) и \( S_2 \), где \( S_1 \) содержит чётные степени, а \( S_2 \) — нечётные степени.
3. Заметим, что для любого нечётного \( n \) и любого \( k \) от 1 до 49: \[ (100 - k)^n + k^n \equiv 0 \pmod{100} \] Это следует из того, что \( (100 - k)^n \) и \( k^n \) при любом нечётном \( n \) и \( k \) от 1 до 49 будут давать сумму, кратную 100.
4. Теперь рассмотрим пары \( (k, 100 - k) \) для \( k \) от 1 до 49. Для каждой такой пары: \[ k^n + (100 - k)^n \equiv 0 \pmod{100} \] Это означает, что каждая пара \( (k, 100 - k) \) даёт сумму, кратную 100.
5. Так как количество таких пар равно 49 (от 1 до 49), то сумма всех этих пар также будет кратна 100.
6. Таким образом, сумма \( S \) всех степеней от 1 до 99 при нечётном \( n \) будет кратна 100.

Таким образом, мы доказали, что при любых нечётных натуральных значениях \( n > 1 \) значение выражения \( 1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 99^n \) кратно 100. Ответ: доказано.