Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите в целых числах уравнение: \(xy-x-2y=5\).

Ответ

\((9;2), (-5;0), (3;8),(1;-6)\).

Решение № 49451:

Для решения уравнения \(xy - x - 2y = 5\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ xy - x - 2y = 5 \]
2. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ xy - x - 2y - 5 = 0 \]
3. Прибавим 2 к обеим сторонам уравнения, чтобы сгруппировать члены: \[ xy - x - 2y + 2 = 7 \]
4. Перегруппируем члены, чтобы факторизовать выражение: \[ (x - 2)(y - 1) = 7 \]
5. Так как 7 является простым числом, его можно представить в виде произведения целых чисел следующими способами: \[ 7 = 1 \cdot 7 \quad \text{или} \quad 7 = (-1) \cdot (-7) \]
6. Рассмотрим первый случай: \[ (x - 2) = 1 \quad \text{и} \quad (y - 1) = 7 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = 1 \implies x = 3 \] \[ y - 1 = 7 \implies y = 8 \]
7. Рассмотрим второй случай: \[ (x - 2) = 7 \quad \text{и} \quad (y - 1) = 1 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = 7 \implies x = 9 \] \[ y - 1 = 1 \implies y = 2 \]
8. Рассмотрим третий случай: \[ (x - 2) = -1 \quad \text{и} \quad (y - 1) = -7 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = -1 \implies x = 1 \] \[ y - 1 = -7 \implies y = -6 \]
9. Рассмотрим четвертый случай: \[ (x - 2) = -7 \quad \text{и} \quad (y - 1) = -1 \] Решим эти уравнения: \[ x - 2 = -7 \implies x = -5 \] \[ y - 1 = -1 \implies y = 0 \]

Таким образом, решения уравнения \(xy - x - 2y = 5\) в целых числах есть: \[ (x, y) = (3, 8), (9, 2), (1, -6), (-5, 0) \] Ответ: \((3, 8), (9, 2), (1, -6), (-5, 0)\)