Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите в целых числах уравнение: \(x^2-3xy+3y-x=10\).

Ответ

Решений нет

Решение № 49447:

Для решения уравнения \(x^2 - 3xy + 3y - x = 10\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 - 3xy + 3y - x = 10 \]
2. Перегруппируем члены уравнения: \[ x^2 - x - 3xy + 3y = 10 \]
3. Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(x - 1) - 3y(x - 1) = 10 \]
4. Вынесем общий множитель \((x - 1)\): \[ (x - 1)(x - 3y) = 10 \]
5. Рассмотрим возможные пары целых чисел \((a, b)\), такие что \(a \cdot b = 10\). Возможные пары: \[ (1, 10), (-1, -10), (2, 5), (-2, -5), (10, 1), (-10, -1), (5, 2), (-5, -2) \]
6. Подставим каждую пару в уравнение \((x - 1)(x - 3y) = 10\) и решим его для \(x\) и \(y\):
   • Для пары \((1, 10)\): \[ x - 1 = 1 \quad \text{и} \quad x - 3y = 10 \] \[ x = 2 \quad \text{и} \quad 2 - 3y = 10 \] \[ 2 - 3y = 10 \implies -3y = 8 \implies y = -\frac{8}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-1, -10)\): \[ x - 1 = -1 \quad \text{и} \quad x - 3y = -10 \] \[ x = 0 \quad \text{и} \quad 0 - 3y = -10 \] \[ 0 - 3y = -10 \implies -3y = -10 \implies y = \frac{10}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((2, 5)\): \[ x - 1 = 2 \quad \text{и} \quad x - 3y = 5 \] \[ x = 3 \quad \text{и} \quad 3 - 3y = 5 \] \[ 3 - 3y = 5 \implies -3y = 2 \implies y = -\frac{2}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-2, -5)\): \[ x - 1 = -2 \quad \text{и} \quad x - 3y = -5 \] \[ x = -1 \quad \text{и} \quad -1 - 3y = -5 \] \[ -1 - 3y = -5 \implies -3y = -4 \implies y = \frac{4}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((10, 1)\): \[ x - 1 = 10 \quad \text{и} \quad x - 3y = 1 \] \[ x = 11 \quad \text{и} \quad 11 - 3y = 1 \] \[ 11 - 3y = 1 \implies -3y = -10 \implies y = \frac{10}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-10, -1)\): \[ x - 1 = -10 \quad \text{и} \quad x - 3y = -1 \] \[ x = -9 \quad \text{и} \quad -9 - 3y = -1 \] \[ -9 - 3y = -1 \implies -3y = 8 \implies y = -\frac{8}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((5, 2)\): \[ x - 1 = 5 \quad \text{и} \quad x - 3y = 2 \] \[ x = 6 \quad \text{и} \quad 6 - 3y = 2 \] \[ 6 - 3y = 2 \implies -3y = -4 \implies y = \frac{4}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
   • Для пары \((-5, -2)\): \[ x - 1 = -5 \quad \text{и} \quad x - 3y = -2 \] \[ x = -4 \quad \text{и} \quad -4 - 3y = -2 \] \[ -4 - 3y = -2 \implies -3y = 2 \implies y = -\frac{2}{3} \quad (\text{не целое число}) \]
7. Таким образом, уравнение \(x^2 - 3xy + 3y - x = 10\) не имеет решений в целых числах.

Ответ: Нет решений в целых числах.