Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n\): кратно 5.

Ответ

NaN

Решение № 49453:

Для доказательства того, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 9^n\) кратно 5, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим выражение: \[ S = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 9^n \]
2. Заметим, что \(1^n \equiv 1 \pmod{5}\), \(2^n \equiv 2^n \pmod{5}\), \(3^n \equiv 3^n \pmod{5}\), \(4^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{5}\), \(5^n \equiv 0 \pmod{5}\), \(6^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{5}\), \(7^n \equiv (-3)^n \equiv 3^n \pmod{5}\), \(8^n \equiv (-2)^n \equiv 2^n \pmod{5}\), \(9^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{5}\).
3. Подставим эти значения в выражение: \[ S \equiv 1 + 2^n + 3^n - 1 + 0 + 1 + 3^n + 2^n - 1 \pmod{5} \]
4. Сгруппируем слагаемые: \[ S \equiv (1 - 1) + (1 - 1) + (2^n + 2^n) + (3^n + 3^n) + 0 \pmod{5} \]
5. Упростим выражение: \[ S \equiv 0 + 2 \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n + 0 \pmod{5} \]
6. Так как \(n\) нечётное, \(2^n\) и \(3^n\) также нечётные, и их сумма будет чётной, следовательно: \[ 2 \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n \equiv 0 \pmod{5} \]
7. Таким образом, \[ S \equiv 0 \pmod{5} \]

Таким образом, мы доказали, что при любых нечётных натуральных значениях \(n\) значение выражения \(1^n + 2^n + 3^n + \ldots + 9^n\) кратно 5.