Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Числа \(m\), \(n\) и \(k\) таковы, что \((m - n) \vdots k и \(mn \vdots k\). Докажите, что\((m^3 + n^3) \vdots k\).

Ответ

NaN

Решение № 49440:

Для решения задачи, где числа \(m\), \(n\) и \(k\) таковы, что \((m - n) \vdots k\) и \(mn \vdots k\), нужно доказать, что \((m^3 + n^3) \vdots k\). Выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ (m - n) \vdots k \quad \text{и} \quad mn \vdots k \]
2. Выразим \(m^3 + n^3\) через \(m\) и \(n\): \[ m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2) \]
3. Рассмотрим выражение \(m^2 - mn + n^2\): \[ m^2 - mn + n^2 = (m - n)^2 + mn \]
4. Заметим, что \((m - n)^2 \vdots k\), так как \(m - n \vdots k\): \[ (m - n)^2 \vdots k \]
5. Так как \(mn \vdots k\), то и \((m - n)^2 + mn \vdots k\): \[ (m - n)^2 + mn \vdots k \]
6. Теперь подставим это в выражение для \(m^3 + n^3\): \[ m^3 + n^3 = (m + n)((m - n)^2 + mn) \]
7. Поскольку \((m + n) \vdots k\) и \((m - n)^2 + mn \vdots k\), то и произведение \((m + n)((m - n)^2 + mn) \vdots k\): \[ (m + n)((m - n)^2 + mn) \vdots k \]
8. Следовательно, \(m^3 + n^3 \vdots k\): \[ m^3 + n^3 \vdots k \]

Таким образом, мы доказали, что \((m^3 + n^3) \vdots k\). Ответ: \((m^3 + n^3) \vdots k\)