Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите в целых числах уравнение: \(xy=x+y\).
Ответ
\((0;0), (2:2)\).
Решение № 49450:
Для решения уравнения \(xy = x + y\) в целых числах выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
xy = x + y
\]
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[
xy - x - y = 0
\]
- Добавим и вычтем 1 в левой части уравнения:
\[
xy - x - y + 1 = 1
\]
- Перегруппируем члены:
\[
(x-1)(y-1) = 1
\]
- Рассмотрим возможные значения для \((x-1)\) и \((y-1)\), так как их произведение равно 1. Возможные пары \((x-1, y-1)\) в целых числах:
\[
(1, 1) \quad \text{и} \quad (-1, -1)
\]
- Решим уравнения для каждой пары:
- Для пары \((1, 1)\):
\[
x-1 = 1 \quad \text{и} \quad y-1 = 1
\]
\[
x = 2 \quad \text{и} \quad y = 2
\]
- Для пары \((-1, -1)\):
\[
x-1 = -1 \quad \text{и} \quad y-1 = -1
\]
\[
x = 0 \quad \text{и} \quad y = 0
\]
- Проверим полученные решения:
- Для \(x = 2\) и \(y = 2\):
\[
xy = 2 \cdot 2 = 4 \quad \text{и} \quad x + y = 2 + 2 = 4
\]
Уравнение выполняется.
- Для \(x = 0\) и \(y = 0\):
\[
xy = 0 \cdot 0 = 0 \quad \text{и} \quad x + y = 0 + 0 = 0
\]
Уравнение выполняется.
Таким образом, решениями уравнения \(xy = x + y\) в целых числах являются пары \((x, y)\):
\[
(2, 2) \quad \text{и} \quad (0, 0)
\]
Ответ: \((2, 2)\) и \((0, 0)\).