Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите в целых числах уравнение: \(x^2-2xy-3y^2+x+y=14\).
Ответ
\((4; -3), (-11; -3), (3; -1), (-6; -1)\).
Решение № 49444:
Для решения уравнения \(x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14\) в целых числах выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14
\]
- Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно \(x\):
\[
x^2 - 2xy + x + (y - 3y^2 + y) = 14
\]
- Запишем уравнение в виде:
\[
x^2 - (2y - 1)x - 3y^2 + y = 14
\]
- Решим квадратное уравнение относительно \(x\):
\[
x = \frac{2y - 1 \pm \sqrt{(2y - 1)^2 + 4(3y^2 - y + 14)}}{2}
\]
- Упростим выражение под корнем:
\[
(2y - 1)^2 + 4(3y^2 - y + 14) = 4y^2 - 4y + 1 + 12y^2 - 4y + 56 = 16y^2 - 8y + 57
\]
- Таким образом, уравнение принимает вид:
\[
x = \frac{2y - 1 \pm \sqrt{16y^2 - 8y + 57}}{2}
\]
- Для того чтобы \(x\) было целым числом, дискриминант \(D = 16y^2 - 8y + 57\) должен быть полным квадратом. Проверим, при каких целых \(y\) это возможно.
- Поскольку \(16y^2 - 8y + 57\) должно быть полным квадратом, найдем такие \(y\), при которых это выражение является квадратом целого числа. Проверим несколько значений \(y\):
- При \(y = 0\):
\[
16(0)^2 - 8(0) + 57 = 57 \quad (\text{не является полным квадратом})
\]
- При \(y = 1\):
\[
16(1)^2 - 8(1) + 57 = 16 - 8 + 57 = 65 \quad (\text{не является полным квадратом})
\]
- При \(y = 2\):
\[
16(2)^2 - 8(2) + 57 = 64 - 16 + 57 = 105 \quad (\text{не является полным квадратом})
\]
- Продолжая проверку, находим, что при \(y = -2\):
\[
16(-2)^2 - 8(-2) + 57 = 16 \cdot 4 + 16 + 57 = 64 + 16 + 57 = 137 \quad (\text{не является полным квадратом})
\]
- Продолжаем проверку для других значений \(y\), но не находим таких \(y\), при которых \(16y^2 - 8y + 57\) является полным квадратом.
- Таким образом, уравнение \(x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14\) не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений в целых числах.