Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите в целых числах уравнение: \(x^2-4y^2=5\).

Ответ

\((3;1), (3;-1), (-3;1), (-3;-1)\).

Решение № 49445:

Для решения уравнения \(x^2 - 4y^2 = 5\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 - 4y^2 = 5 \]
2. Перепишем уравнение в виде разности квадратов: \[ x^2 - (2y)^2 = 5 \]
3. Используем формулу разности квадратов: \[ (x - 2y)(x + 2y) = 5 \]
4. Заметим, что 5 — простое число, и оно может быть представлено как произведение двух целых чисел только двумя способами: \[ 5 = 1 \cdot 5 \quad \text{или} \quad 5 = (-1) \cdot (-5) \]
5. Рассмотрим первый случай: \[ x - 2y = 1 \quad \text{и} \quad x + 2y = 5 \]
6. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases} \]
7. Сложим уравнения: \[ (x - 2y) + (x + 2y) = 1 + 5 \\ 2x = 6 \\ x = 3 \]
8. Подставим \(x = 3\) в одно из уравнений: \[ 3 - 2y = 1 \\ -2y = -2 \\ y = 1 \]
9. Рассмотрим второй случай: \[ x - 2y = -1 \quad \text{и} \quad x + 2y = -5 \]
10. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + 2y = -5 \end{cases} \]
11. Сложим уравнения: \[ (x - 2y) + (x + 2y) = -1 - 5 \\ 2x = -6 \\ x = -3 \]
12. Подставим \(x = -3\) в одно из уравнений: \[ -3 - 2y = -1 \\ -2y = 2 \\ y = -1 \]
13. Таким образом, решениями уравнения \(x^2 - 4y^2 = 5\) в целых числах являются пары: \[ (x, y) = (3, 1) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-3, -1) \]

Ответ: \( (3, 1) \) и \( (-3, -1) \)