Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите в целых числах уравнение: \(y^2+3xy=15+y\).
Ответ
\((5;1), (1;3), (1;-5), (5;-15)\).
Решение № 49446:
Для решения уравнения \(y^2 + 3xy = 15 + y\) в целых числах выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
y^2 + 3xy = 15 + y
\]
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[
y^2 + 3xy - y - 15 = 0
\]
- Сгруппируем члены:
\[
y^2 + y(3x - 1) - 15 = 0
\]
- Рассмотрим уравнение как квадратное относительно \(y\):
\[
y^2 + y(3x - 1) - 15 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение относительно \(y\) с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 3x - 1\) и \(c = -15\):
\[
y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{(3x - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}
\]
- Упростим выражение под корнем:
\[
y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{(3x - 1)^2 + 60}}{2}
\]
- Развернем квадрат:
\[
y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{9x^2 - 6x + 1 + 60}}{2}
\]
- Упростим выражение под корнем:
\[
y = \frac{-(3x - 1) \pm \sqrt{9x^2 - 6x + 61}}{2}
\]
- Для того чтобы \(y\) было целым числом, выражение под корнем должно быть полным квадратом. Рассмотрим возможные значения \(x\):
\[
9x^2 - 6x + 61 = k^2
\]
где \(k\) — целое число.
- Проверим возможные значения \(x\) в целых числах:
\[
x = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]
- Подставим \(x = 0\):
\[
y^2 - y - 15 = 0
\]
Решим уравнение:
\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 60}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{2}
\]
Поскольку \(\sqrt{61}\) не является целым числом, \(x = 0\) не подходит.
- Подставим \(x = 1\):
\[
y^2 + 2y - 15 = 0
\]
Решим уравнение:
\[
y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}
\]
Получим:
\[
y = 3 \quad \text{или} \quad y = -5
\]
Оба значения \(y\) являются целыми числами.
- Подставим \(x = -1\):
\[
y^2 - 4y - 15 = 0
\]
Решим уравнение:
\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2}
\]
Поскольку \(\sqrt{76}\) не является целым числом, \(x = -1\) не подходит.
- Подставим \(x = 2\):
\[
y^2 + 5y - 15 = 0
\]
Решим уравнение:
\[
y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 60}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{85}}{2}
\]
Поскольку \(\sqrt{85}\) не является целым числом, \(x = 2\) не подходит.
- Таким образом, единственное возможное значение \(x\), при котором \(y\) является целым числом, это \(x = 1\). При \(x = 1\) значения \(y\) равны 3 и -5.
Ответ: \(x = 1\), \(y = 3\) или \(y = -5\).