Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Числа \(х\), \(у\) и \(z\) таковы, что \(хz \vdots (z - у)\). Докажите, что \(ху \vdots (z - у)\).

Ответ

NaN

Решение № 49439:

Для доказательства того, что $xu \vdots (z - y)$, если $xz \vdots (z - y)$, выполним следующие шаги:

1. Запишем исходное условие: \[ xz \vdots (z - y) \] Это означает, что существует такое целое число \(k\), что: \[ xz = k(z - y) \]
2. Перепишем уравнение: \[ xz = kz - ky \]
3. Перенесем \(kz\) в левую часть уравнения: \[ xz - kz = -ky \]
4. Вынесем \(z\) за скобки в левой части уравнения: \[ z(x - k) = -ky \]
5. Разделим обе части уравнения на \(z\) (предполагая, что \(z \neq 0\)): \[ x - k = -\frac{ky}{z} \]
6. Умножим обе части уравнения на \(u\): \[ u(x - k) = -\frac{kyu}{z} \]
7. Раскроем скобки в левой части уравнения: \[ xu - ku = -\frac{kyu}{z} \]
8. Перепишем уравнение: \[ xu - ku = -\frac{kyu}{z} \] Это означает, что: \[ xu = ku - \frac{kyu}{z} \]
9. Поскольку \(ku\) и \(\frac{kyu}{z}\) делятся на \(z - y\), то и \(xu\) делится на \(z - y\): \[ xu \vdots (z - y) \]

Таким образом, мы доказали, что \(xu \vdots (z - y)\).