Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите в целых числах уравнение: \(x^2+2xy=2x+9\).

Ответ

\((1;5), (9;-3), (-1;-3), (-9;5), (3;1), (-3;1)\).

Решение № 49442:

Для решения уравнения \(x^2 + 2xy = 2x + 9\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ x^2 + 2xy = 2x + 9 \]
2. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 2xy - 2x - 9 = 0 \]
3. Вынесем \(x\) за скобки в членах с \(x\): \[ x(x + 2y - 2) = 9 \]
4. Рассмотрим возможные значения \(x\), которые являются делителями числа 9. Такими значениями могут быть \(\pm 1, \pm 3, \pm 9\).
5. Подставим каждое значение \(x\) в уравнение и решим его относительно \(y\):
   • Для \(x = 1\): \[ 1(1 + 2y - 2) = 9 \implies 1 + 2y - 2 = 9 \implies 2y - 1 = 9 \implies 2y = 10 \implies y = 5 \]
   • Для \(x = -1\): \[ -1(-1 + 2y - 2) = 9 \implies -1 - 2y + 2 = 9 \implies -2y + 1 = 9 \implies -2y = 8 \implies y = -4 \]
   • Для \(x = 3\): \[ 3(3 + 2y - 2) = 9 \implies 3 + 2y - 2 = 3 \implies 2y + 1 = 3 \implies 2y = 2 \implies y = 1 \]
   • Для \(x = -3\): \[ -3(-3 + 2y - 2) = 9 \implies -3 - 2y + 2 = -3 \implies -2y - 1 = -3 \implies -2y = -2 \implies y = 1 \]
   • Для \(x = 9\): \[ 9(9 + 2y - 2) = 9 \implies 9 + 2y - 2 = 1 \implies 2y + 7 = 1 \implies 2y = -6 \implies y = -3 \]
   • Для \(x = -9\): \[ -9(-9 + 2y - 2) = 9 \implies -9 - 2y + 2 = -1 \implies -2y - 7 = -1 \implies -2y = 6 \implies y = -3 \]
6. Таким образом, решения уравнения \(x^2 + 2xy = 2x + 9\) в целых числах: \[ (x, y) = (1, 5), (-1, -4), (3, 1), (-3, 1), (9, -3), (-9, -3) \]

Ответ: \((1, 5), (-1, -4), (3, 1), (-3, 1), (9, -3), (-9, -3)\)