Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Цифры \(а\) и \(b\) трёхзначного числа \(m = \overline{аba}\) таковы, что \((а + b) \vdots 7\). Докажите, что \(m\vdots 7\).

Ответ

NaN

Решение № 49461:

Для решения задачи, доказывающей, что трёхзначное число \( m = \overline{aba} \) делится на 7, если сумма его цифр \( a \) и \( b \) делится на 7, выполним следующие шаги:

1. Запишем число \( m \) в виде: \[ m = \overline{aba} = 100a + 10b + a = 101a + 10b \]
2. Рассмотрим выражение \( 101a + 10b \). Заметим, что: \[ 101a + 10b = 101(a + b) - 91b \]
3. Поскольку \( (a + b) \vdots 7 \), то \( 101(a + b) \vdots 7 \), так как 101 и 7 взаимно просты. Следовательно, \( 101(a + b) \vdots 7 \).
4. Также заметим, что \( 91b \vdots 7 \), поскольку 91 делится на 7.
5. Теперь вычтем \( 91b \) из \( 101(a + b) \): \[ 101a + 10b = 101(a + b) - 91b \]
6. Поскольку оба слагаемых делятся на 7, то и их разность делится на 7: \[ 101a + 10b \vdots 7 \]
7. Таким образом, \( m \vdots 7 \).

Ответ: Доказано.