Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Существует ли многочлен \(Р(х)\) с целыми коэффициентами такой, что \(Р(1) = 17\), \(Р(9) = 53\)?

Ответ

Не существует

Решение № 49449:

Для решения задачи о существовании многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами, такого что \(P(1) = 17\) и \(P(9) = 53\), выполним следующие шаги:

1. Пусть \(P(x)\) — многочлен с целыми коэффициентами.
2. Рассмотрим разность \(P(9) - P(1)\): \[ P(9) - P(1) = 53 - 17 = 36 \]
3. Так как \(P(x)\) — многочлен с целыми коэффициентами, разность \(P(9) - P(1)\) должна быть кратна \(9 - 1 = 8\).
4. Проверим, является ли 36 кратным 8: \[ 36 \div 8 = 4.5 \] Поскольку 36 не делится на 8 без остатка, 36 не кратно 8.
5. Таким образом, разность \(P(9) - P(1)\) не кратна 8, что противоречит условию задачи.

Таким образом, многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами, такого что \(P(1) = 17\) и \(P(9) = 53\), не существует. Ответ: не существует.