Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Числа \(х\) и \(у\) таковы, что значение выражения \(3х + 8у\) кратно 19. Докажите, что значение выражения \(13x + Зу\) кратно 19.

Ответ

NaN

Решение № 49456:

Для решения задачи Числа \( x \) и \( y \) таковы, что значение выражения \( 3x + 8y \) кратно 19. Докажите, что значение выражения \( 13x + 3y \) кратно 19 выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \]
2. Нам нужно доказать, что: \[ 13x + 3y \equiv 0 \pmod{19} \]
3. Умножим исходное уравнение \( 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \) на 3: \[ 3(3x + 8y) \equiv 3 \cdot 0 \pmod{19} \] \[ 9x + 24y \equiv 0 \pmod{19} \]
4. Упростим выражение \( 9x + 24y \) по модулю 19: \[ 24y \equiv 5y \pmod{19} \] \[ 9x + 5y \equiv 0 \pmod{19} \]
5. Теперь у нас есть уравнение: \[ 9x + 5y \equiv 0 \pmod{19} \]
6. Умножим исходное уравнение \( 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \) на 4: \[ 4(3x + 8y) \equiv 4 \cdot 0 \pmod{19} \] \[ 12x + 32y \equiv 0 \pmod{19} \]
7. Упростим выражение \( 12x + 32y \) по модулю 19: \[ 32y \equiv 13y \pmod{19} \] \[ 12x + 13y \equiv 0 \pmod{19} \]
8. Теперь у нас есть уравнение: \[ 12x + 13y \equiv 0 \pmod{19} \]
9. Сложим уравнения \( 9x + 5y \equiv 0 \pmod{19} \) и \( 12x + 13y \equiv 0 \pmod{19} \): \[ (9x + 5y) + (12x + 13y) \equiv 0 + 0 \pmod{19} \] \[ 21x + 18y \equiv 0 \pmod{19} \]
10. Упростим выражение \( 21x + 18y \) по модулю 19: \[ 21x \equiv 2x \pmod{19} \] \[ 18y \equiv -y \pmod{19} \] \[ 2x - y \equiv 0 \pmod{19} \]
11. Теперь у нас есть уравнение: \[ 2x - y \equiv 0 \pmod{19} \]
12. Умножим это уравнение на 3: \[ 3(2x - y) \equiv 3 \cdot 0 \pmod{19} \] \[ 6x - 3y \equiv 0 \pmod{19} \]
13. Сложим уравнения \( 13x + 3y \equiv 0 \pmod{19} \) и \( 6x - 3y \equiv 0 \pmod{19} \): \[ (13x + 3y) + (6x - 3y) \equiv 0 + 0 \pmod{19} \] \[ 19x \equiv 0 \pmod{19} \]
14. Так как \( 19x \equiv 0 \pmod{19} \), то: \[ x \equiv 0 \pmod{19} \]
15. Подставим \( x \equiv 0 \pmod{19} \) в исходное уравнение \( 3x + 8y \equiv 0 \pmod{19} \): \[ 3 \cdot 0 + 8y \equiv 0 \pmod{19} \] \[ 8y \equiv 0 \pmod{19} \]
16. Так как \( 8y \equiv 0 \pmod{19} \), то: \[ y \equiv 0 \pmod{19} \]
17. Теперь подставим \( x \equiv 0 \pmod{19} \) и \( y \equiv 0 \pmod{19} \) в выражение \( 13x + 3y \): \[ 13 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \equiv 0 \pmod{19} \] \[ 0 \equiv 0 \pmod{19} \]

Таким образом, значение выражения \( 13x + 3y \) кратно 19. Ответ: Доказано.