Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите в целых числах уравнение: \(2y^2-xy-x^2=2\).

Ответ

\((0;1), (0;-1), (-1;1), (1; -1)\).

Решение № 49448:

Для решения уравнения \(2y^2 - xy - x^2 = 2\) в целых числах выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2y^2 - xy - x^2 = 2 \]
2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \[ 2y^2 - xy - x^2 - 2 = 0 \]
3. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно \(y\): \[ 2y^2 - xy - (x^2 + 2) = 0 \]
4. Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = -x\), и \(c = -(x^2 + 2)\).
5. Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу: \[ y = \frac{x \pm \sqrt{(-x)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(x^2 + 2))}}{2 \cdot 2} \]
6. Упростим выражение под корнем: \[ y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 + 8(x^2 + 2)}}{4} \] \[ y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 + 8x^2 + 16}}{4} \] \[ y = \frac{x \pm \sqrt{9x^2 + 16}}{4} \]
7. Для того чтобы \(y\) было целым числом, выражение под корнем \(\sqrt{9x^2 + 16}\) должно быть полным квадратом. Пусть \(\sqrt{9x^2 + 16} = k\), где \(k\) — целое число. Тогда: \[ 9x^2 + 16 = k^2 \]
8. Рассмотрим возможные значения \(x\), при которых \(9x^2 + 16\) является полным квадратом. Проверим несколько значений \(x\): - Если \(x = 0\): \[ 9(0)^2 + 16 = 16 \quad (\text{не является полным квадратом}) \] - Если \(x = 1\): \[ 9(1)^2 + 16 = 25 = 5^2 \quad (\text{является полным квадратом}) \] - Если \(x = -1\): \[ 9(-1)^2 + 16 = 25 = 5^2 \quad (\text{является полным квадратом}) \] - Если \(x = 2\): \[ 9(2)^2 + 16 = 52 \quad (\text{не является полным квадратом}) \] - Если \(x = -2\): \[ 9(-2)^2 + 16 = 52 \quad (\text{не является полным квадратом}) \]
9. Таким образом, возможные значения \(x\) — это \(1\) и \(-1\).
10. Для \(x = 1\): \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4} \] \[ y = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \quad (\text{не целое число}) \] \[ y = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \quad (\text{целое число}) \]
11. Для \(x = -1\): \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] \[ y = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \quad (\text{целое число}) \] \[ y = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \quad (\text{не целое число}) \]
12. Таким образом, решениями уравнения \(2y^2 - xy - x^2 = 2\) в целых числах являются пары \((x, y)\): \[ (1, -1) \quad \text{и} \quad (-1, 1) \]

Ответ: \((1, -1)\) и \((-1, 1)\).